Av Steinar Thorvaldsen,
Høgskolen i Tromsø.
N-9293 Tromsø
e-post: steinar@hitos.no

Niels Henrik Abels dramatiske liv startet for rundt 200 år siden, nærmere bestemt den 5. august 1802, trolig på stedet Nedstrand ved Stavanger. Faren het Søren Georg og var prest i nabosognet Finnøy. Også farfaren hadde prestestilling i bygda Gjerstad i Aust-Agder. Han døde året etter at Niels Henrik var født, og Søren Georg ble da utnevnt som etterfølger. Familien flyttet dermed til Gjerstad der barna vokste opp. Niels Henrik kom til verden tre måneder for tidlig. Han vokste opp som den nest eldste i en søskenflokk på seks, fem brødre og en søster.

Figur 1. Niels Henrik Abel (1802 - 1829). Dette er det eneste autentiske portrettet av matematikeren som er bevart. Tegnet av Görbitz i Paris i 1826. Görbitz var en dyktig portrettmaler, men hadde en viss tendens til å forskjønne. I følge andre kilder så Abel i årene 1823 - 1824 ikke så godt ut. Han skal ha vært nokså mager og gråblek, sannsynligvis p.g.a. at han ikke levde spesielt sunt med arbeid utover nettene. Bildet henger nå i Abels Hus som er høyblokken på Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet ved ved Universitetet i Oslo.

Niels Henrik Abel døde i en alder av bare 26 år. Etter vanlig målestokk er man da fortsatt meget ung og vil såvidt ha rukket å avslutte en universitetsutdannelse. Men det er forskjell på mennesker. I løpet av sitt korte liv utviklet Abel matematiske teorier som ble avgjørende for utviklingen av faget. I matematikken er det imidlertid ganske vanlig at det er de unge som gjør de største oppdagelsene, og den erfaring som kommer med årene ser ut til å ha mindre betydning enn ungdommens intuisjon og idérikdom.

I denne artikkelen skal vi gjenfortelle den klassiske historien om Abel. Andre har skrevet tilsvarende tidligere. For et par år siden kom det imidlertid en ny Abelbiografi på nesten 600 sider forfattet av Arild Stubhaug. Vi henter derfor momenter fra disse nye kildene, og underveis avlegger vi faglige besøk til tre av de områdene i matematikken der Abel gjorde sine største oppdagelser: Likningsteorien, teorien om elliptiske funksjoner, og teorien for uendelige rekker.

Niels Henrik Abels liv er sterkt preget av menneskelig dramatikk som har interesse langt ut over matematikernes rekker. Han opplevde både store triumfer og dype tragedier. De ytre vanskelighetene han møtte i livet, og den måten han mestret disse, er en historie som forteller om mye medmenneskelig omtanke og varme. Til tross for et liv med mye fattigdom og mange mørke sider, maktet han å bevare en urokkelig optimisme. De stadige problemene hans nærmeste familie kom opp i, og bekymringene for framtiden, ser ut til å ha mistet mye av sin negative makt ved den lykke og skaperglede han må ha kjent hos seg ved sitt skrivebord. Men til sist ble han selv rammet, og på sykeleiet må han etter hvert - mens han pleies av sin forlovede Christine Kemp - innse at døden vil komme. Abels tidlige død har dramatikk parallell med "Titanics" forlis.

Våre store nasjonale helter i Norge utenom idretten er ikke mange, og det er svært få av disse som teller utenfor landets grenser. Når vi nå nærmer oss minnedagene for hans 200 års fødsel, vil dette bli markert både faglig, nasjonalt og internasjonalt. I 1902 var det 100 år siden Abel ble født. Stortinget besluttet den gang høytidelig å bevilge penger til markering av hundreårsdagen. Det var et stort nasjonalt jubileum, og en komite av universitetslærere under ledelse av professor Fridtjof Nansen hadde ansvaret. Biørnstjerne Bjørnson fikk i oppdrag å lage en festkantate. I brev til Bjørnson hadde Nansen skrevet at: "For meg står det som vår plikt å gjøre mest mulig ut av begivenheter som en Abels fødsel...; men desværre har vi bare en Abel; leiligheden kommer ikke igjen på 100 år." En konkurranse for billedhuggere om Abel-statuer resulterte i de velkjente statuene av Gustav Vigeland i Slottsparken. Det ble laget festskrift og holdt minnesamlinger. Abels matematiske arbeider og etterlatte brev, og andre skriftlige kilder ble utgitt i bokform på norsk og fransk. Matematiske fagtidsskrifter over hele verden trykket minneartikler. I Gjerstad ble jubileet feiret med en folkefest over to dager. Det ble også besluttet å opprette en internasjonal "Abel-pris" som skulle finansieres av den svenske konge og utdeles hvert femte år. Men dette vedtaket gikk i oppløsning sammen med unionsoppløsningen med Sverige i 1905.

Figur 2. Gustav Vigelands store monument av Abel står i slottsparken i Oslo. Monumentet skal være et symbol på Abels åndelige styrke. Det er også reist statuer av Abel andre steder, bl.a. på Gjerstad og på Froland ved huset der han døde.
 
 

Bakgrunn
Bestefar Hans Mathias Abel ble i 1784 utnevnt til sogneprest i Gjerstad prestegjeld som bestod av Gjerstad og Vegårshei. Hans Mathias Abel var en kunnskapsrik og trofast prest som sørget for bedre organisering av både skole og fattigvesen. Av særlig betydning for ettertiden var det at han sammen med sønnen Søren Georg Abel, startet Gjerstad Læseselskab i 1794. Leseselskapet kjøpte inn bøker til utlån, og bidro slik til at vanlige folk fikk tilgang på samtidens litteratur. Leseselskapets litteratur var først og fremst av praktisk, populærvitenskapelig og samfunnsvitenskapelig art. Søren Georg Abel fungerte en tid som kapellan under sin far. Etter et fireårig mellomspill som sogneprest i Finnøy i Rogaland, kom han i 1803 tilbake til Gjerstad og overtok sogneprestembetet etter sin far. Niels Henriks far var som bestefaren svært interessert i utdanning og helsearbeid i sognet. I opplysningstidens ånd dannet han lesesirkler for å innføre lokalbefolkningen i den moderne europeiske litteratur. Selv skrev han også en katekisme til bruk i skole og konfirmasjonsundervisning. Han var en evnerik og foretaksom person med utpregede politiske interesser og ambisjoner. Han var med på forhandlingene om ny grunnlov i 1814, og kom senere på Stortinget.

Niels Henriks mor, Anne Marie Simonsen, var fra Risør. Hennes far var byens rikeste kjøpmann i begynnelsen av 1800-årene. Anne Marie var 19 år da hun ble gift med Søren Georg Abel. Hun var kjent som en svært pen kvinne med god borgerlig oppdragelse. Men hun levde stadig mer et karakterløst selskapsliv, og tok lite del i det praktiske livet. Hun fikk store alkoholproblemer, og tok seg etter hvert lite av sine barn. Som prestekone og ektefelle ble hun en katastrofe, og var senere en vesentlig årsak til familiens tragedier.

Tre andre kvinner var meget viktige i Niels Henrik Abels liv: Søsteren Elizabeth Magdalene som var 8 år yngre enn han, fru professor Hansteen, som han beskrev som sin andre mor, og Christine Kemp, hans forlovede. Inntrykk som han gir gjennom sine brev til dem, er at de må ha vært svært viktige for hans liv og utvikling som menneske.

Det er vanskelig å forklare hvorfor, men etter hvert begynte det også å gå raskt nedover bakke med stortingsmann Søren Georg Abel. Han støtte på problemer i sin politiske karriere, og etter en skandale på Stortinget i 1818 var hans muligheter som politiker slutt. Skandalen førte nesten til riksrett. Han kom i økonomiske vanskeligheter, mister populariteten i sognet sitt og begynte å drikke. Som nedbrutt og desillusjonert mann vendte han tilbake til prestekallet i Gjerstad. Han tok nå mer og mer til flasken og døde i 1820, bare 48 år gammel.
 
 

Skolegang og studier i Oslo
Allerede høsten 1815, bare 13 år gammel, ble Niels Henrik sendt til Oslo for å begynne på Katedralskolen. Året etter kom også hans eldre bror Hans Mathias til skolen. Niels Henrik fikk et stipendium p.g.a. at familien etter hvert fikk dårlig økonomi, og begge hadde friplass på skolen. Matematikklæreren het Hans Peter Bader. Han var kjent som en brutal bølle som både slo og plaget sine elever. En dag gikk Bader langt over streken ved å slå en av elevene (forøvrig sønn av en stortingsrepresentant) så kraftig at gutten døde en uke etterpå. Dette førte til at Bader øyeblikkelig ble suspendert fra sin stilling, og Katedralskolen ansatte Bernt Mikael Holmboe (1795-1850) som ny matematikklærer. Holmboe, som var bare 7 år eldre enn Abel, var en kunnskapsrik og god matematikklærer som lot elevene jobbe med oppgaver ut fra evner og interesse. Holmboe rettledet Abel på en mønstergyldig måte, og lot han få låne lærebøkene sine fra universitetet, spesielt L. Eulers innføringsverk i matematisk analyse. Matematikken åpnet en ny og spennende verden for Abel.

Abel leste i gymnasietiden arbeider av Euler, Poisson, Gauss og spesielt Lagrange. Men han studerte også anvendte matematikere som Newton og d'Alembert. Utvilsomt en imponerende og krevende kost for en 16-åring. Abel gjorde meget raske fremskritt og begynte snart å angripe problemer som på den tiden var uløste. Holmboe var naturlig nok begeistret for sin nye elev og venn og brukte de sterkeste ord i eksamensprotokollen om han: "Med det mest utmerkede geni forener han en utilfredsstillelig iver og interesse for matematikken så at han vissnok om han lever, vil bli en stor matematiker." Niels Henrik Abel tok examen artium i juli 1821 med hovedkarakteren "Haud illaudabilis". Han var nokså middelmådig i de fleste fag, men fikk 2 i fransk og geografi og 1 med slange i aritmetikk og geometri - en sjelden utmerkelse.

Da Abel startet studiene sine ved universitetet i Oslo høsten 1821, var han i en meget dårlig økonomisk situasjon. Faren var død, og moren var ute av stand til å sørge skikkelig for selv de minste barna,- langt mindre sende penger til studenten i Oslo. Det som reddet han, var at han fikk bo gratis på studenthjemmet, og at noen av professorene samt universitetets rektor, som kjente Abels sjeldne evner, gikk sammen om å gi ham en personlig støtte. I tillegg til dette fikk han også tillatelse til å ha sin yngre bror, Peder, boende på rommet sitt. Niels Henriks beskjedne "stipendium" måtte rekke til alt underhold for de to studentene. Peder fortalte senere at broren alltid gikk med et krittstykke i lomma, og ofte "tagget" matematikk på husveggene i byen.

Noen matematisk-naturvitenskapelig embedseksamen eksisterte ikke ved universitetet den gang, så han kunne nå mer eller mindre velge sin egen studievei. Som nybakt student kunne han trolig mer matematikk enn noen annen i landet. Hans første arbeider ble trykt i det nyopprettede populærvitenskapelige tidsskrift: "Magazin for Naturvidenskaberne" der matematikkprofessor Christopher Hansteen (1784 -1873) var redaktør. Hansteen måtte forsyne artikkelen med en unnskyldende innledning fordi et populærvitenskapelig tidsskrift publiserte en så vidt vanskelig artikkel. Interessant er det imidlertid å merke seg at Morgenbladet kommenterte heftet i detalj og skrev om Abels artikkel: "En avhandling som berettiger til de skjønneste forhåpninger om denne unge matematiker". I denne tiden skrev også Abel et manus om "Integration af differentialformler" som beskrev en metode for å avgjøre om et ubestemt integral av en gitt funksjon kan uttrykkes ved de kjente elementære funksjoner. Hansteen fikk dette med hensikter å skulle å trykke det. Men manuset forsvant ett eller annet sted - trolig i administrasjonen i departementet - og har siden aldri blitt gjenfunnet.
 
 

Femtegradslikningen
Et av de mest berømte problemene i datidens matematikk gjaldt muligheten for å løse femtegradslikninger ved samme type formeluttrykk som allerede var kjent for likninger av første, annen, tredje og fjerde grad. Det vil si å skrive røttene i en generell femtegradslikning:

x⁵ + a₁x ⁴ + a₂x³ + a₃x² +a₄x +a₅ = 0

Degen mente forøvrig at studiet av femtegradslikningen var et noe spesielt og "sterilt" problem, og anbefalte ham å studere funksjonene som ble kalt de elliptiske transcendenter og deres "smukke egenskaper". Dette ville åpne et stort "analytisk ocean" for Abel, mente Degen, noe han senere skulle vise seg å få helt rett i.

Da Abel fikk Degens svar, begynte han straks å regne på eksempler og kom snart til at hans formel ikke var generell og umulig kunne gjelde for alle femtegradslikninger. Abel ble skuffet, men stolte på sine evner og fortsatte i årene som kom å arbeide med femtegradslikningens løsning. Han var etter hvert blitt overbevist om at en slik løsning ikke fantes. Like før jul 1823 mente han å ha en overbevisende begrunnelse for uløsbarheten. Han hadde dermed nådd sitt første store mål som matematiker. Han skrev ned resultatene på fransk på 6 kortfattede sider for å spare utgifter til trykking som han måtte bekoste selv. Han fikk ikke plass til kommentarer og ekstra forklaringer, og beviset ble derfor vanskelig å forstå. Utkastet ble trykket på haugianeren Grøndahls forlag i Oslo. Han sendte avhandlingen til forskjellige matematikere, bl.a. til datidens største matematiker Carl F. Gauss (1777-1855) i Göttingen. Men Gauss la bare avhandlingen til side og glemte den blant sine mange papirer. Avhandlingen vakte påfallende liten interesse hos datidens matematikere. Selv om reaksjonen uteble, var Abel likevel ved godt mot. Han planla å bringe med seg en del eksemplarer av arbeidet på en senere utenlandsreise som en slags personlig introduksjon.

Abel var ikke klar over at italieneren Paolo Ruffinis allerede 25 år tidligere hadde utgitt et bevis for at den generelle femtetgradslikningen ikke kunne løses ved rotuttrykk. Ruffinis bevis hadde store svakheter. Det var skrevet på en svært komplisert og uklar måte, og møtte atskillig skepsis. Det viste seg også at det hadde en alvorlig mangel. Abels argumentasjon var heller ikke helt patent, noe han innrømmet senere ved å gi to utførlige bevis som er fullstendige og helt vanntette. I matematisk litteratur omtales nå allikevel resultatet ofte som Abel-Ruffinis teorem.

At femtegradslikninger og andre likninger ikke er generelt løsbare med rottegn, må ikke forveksles med å tro at de er uløselige. Alle slike likninger har løsninger (i de komplekse tallene). Dette heter "algebraens fundamentalteorem" og ble bevist av Carl F. Gauss før Abel ble født. Abel kjente selvsagt til dette, og hans arbeider tar for seg hvorledes løsningene må se ut. Allerede den store filosofen René Descartes hadde i avhandlingen La Géométrie fra 1637 studert antall løsninger i likninger. Han antydet der at antall løsninger kunne være lik graden av likningen. Men han understreket at ikke alle løsningene trengte å være virkelige (på fransk réel), noen av dem kunne være imaginære. Med sitt bevis påviste Abel at det må finnes andre tall enn de som framkommer ved vanlige regneoperasjoner og rotuttrykk. Dette gjør oppdagelsen viktig.

Senere prøvde Abel å bestemme den klasse av likninger der en algebraisk løsning med rottegn var mulig. Helt ut løste han ikke dette problemet. Den geniale franske matematiker Evariste Galois (1811-1832) videreførte og kompletterte Abels arbeider innenfor likningsteorien. Hans metode kalles i dag Galoisteori og har hatt stor betydning for algebraens utvikling. Galois regnes bl.a. som gruppeteoriens grunnlegger. Men Abel benyttet seg i sine arbeider også av gruppebegrepet uten å bruke denne betegnelsen. Det er derfor med god grunn at en såkalt kommutativ gruppe betegnes som en abelsk gruppe.
 
 
 

Til København
Abels første utenlandsreise var en tur til København sommeren 1823. For å finansiere turen, fikk han et stipend på 100 daler fra Kollegiet ved Universitetet i Oslo. Han møtte da den tidligere omtalte professor Degen som ga ham god støtte og inspirasjon. Abel arbeidet på denne tid mye med de transcendente elliptiske funksjoner, slik Degen tidligere hadde anbefalt. Han var ellers ikke særlig imponert over den matematiske aktiviteten i København, heller ikke over byen. I et brev til Holmboe skrev han: "Allting er ringere her enn i Kristiania - damene her i byen er umåtelig stygge, men dog nette... Vitenskapsmenn her tror at det er et rent barbari i Norge, og jeg gjør all umake for å overtyde dem om det motsatte." Det var imidlertid på denne turen at han traff Christine Kemp som må ha gjort inntrykk på ham og som han senere forlovet seg med. De ble aldri gift, da Abels økonomi ikke tillot ham å stifte familie.
 
 

Elliptiske funksjoner
De velkjente trigonometriske funksjonene sinus og cosinus defineres til vanlig ved hjelp av sirkelen. Enkelt sagt kan vi si at elliptiske funksjoner er generaliseringer av de trigonometriske funksjonene. I beregning av buelengder for ellipser og svingetider for pendler, får man bruk for disse. Etter hjemkomsten til Norge, arbeidet Abel med slike funksjoner og deres integraler, et arbeid som senere skulle vise seg å være banebrytende. Han sendte resultatene fra 1824 til professor Degen og skriv bl.a. i et ledsagende brev: "Dette teorem og en avhandling derom har jeg tenkt å sende til det franske Institutt, da jeg synes det vil utbrede lys over de transcendente funksjoner i det hele."

Abel angrep problemet på en ny måte. Han snudde så og si problemet på hodet, og studerte de omvendte funksjonene isteden. Abel var den første til å angripe det matematiske problem på denne måten, for dermed lettere å finne fram til løsninger. En av de overraskende egenskapene Abel fant, var periodisiteten. De elliptiske funksjonene har to uavhengige perioder, noe som viser litt av slektskapet med de trigonometriske funksjonene.

Figur 3. Eksempel på Abels skriblerier når han arbeider med kurven som heter lemniskaten. Nå i Universitetsbibliotekets brevsamling.

Integraler av generelle algebraiske funksjoner og elliptiske funksjoner var noe som Abel jobbet mye med. Han utviklet en omfattende generell teori som han regnet som sitt mesterverk og som kom til å bli et av hans betydeligste bidrag til matematikken.Han leverte i 1826 inn sin store avhandling om transcendente funksjoner til det franske akademiet. Det munnet ut i det som i dag gjerne betegnes som Abels addisjonsteorem. Abel var overbevist om dette arbeidets kvalitet, og framstillingen var klar. Men avhandlingen var svært lang, og inneholdt dessuten mange nye idéer som det utvilsomt ville ta tid å forstå. Matematikerne i Paris la derfor Abels arbeid til side i håp om å få bedre tid senere. Abel hørte aldri et ord om avhandlingen og han purret heller aldri på saken.

I mars 1827 fullførte Abel en annen stor avhandling som ble påbegynt i Paris: "Recherches sur les fonctions elliptiques". Denne avhandlingen var i sin endelige form på hele 120 sider. Da den store Gauss så denne, ble han rett og slett imponert: "...han har gjort alle utviklinger med eleganse og skarphet". Gauss hadde tidligere jobbet med de samme problemene, men aldri tatt den nødvendige tid til å systematisere resultatene. Nå var hele jobben gjort av Abel! Bedre attest var det umulig å få i faget.

Det bør også nevnes at den tyske matematikeren Carl G.J. Jacobi (1804-1851) på denne tiden også arbeidet med elliptiske funksjoner, uten at Abel i starten kjente til hans verk - eller omvendt. Det utviklet seg til et slags "kappløp" mellom disse to. Jacobi publiserte noen viktige formler, men manglet bevisene. Abel var så å si ferdig med hele teorien, og fryktet at Jacobi skulle slå han på målstreken. Han la derfor alt annet til side og skrev ferdig den store avhandlingen som han i et privat brev kalte "dødelsen av Jacobi". Noen "dødelse" ble det ikke, men det førte til at Jacobi ga Abel full kreditt for visse grunnleggende resultater han benyttet i sine egne avhandlinger etter å ha lest Abels arbeider. Abels teori og framstilling var i sitt fundament mer generell enn Jacobis.
 
 

Den store Europaturen
I september 1825 hadde Abel lagt ut på sin store utenlandsreise. Universitetet i Oslo sendte en del av sine unge lovende naturvitenskapsmenn ut i Europa for å studere og lære mer. I nesten to år reiste han rundt. Han besøkte mange av datidens store matematikere, bl.a. i Berlin og Paris.

Abel fant fort ut at det ikke sto så bra til med matematikken i Berlin som han trodde. Biblioteket var dårligere enn biblioteket i Oslo når det gjaldt matematisk litteratur. Men noe svært positivt hendte for Abel i Berlin. Han traff August L. Crelle (1780-1855) som egentlig var vei- og bygningsingeniør, men som fulgte godt med i hva som rørte seg innen matematisk forskning. Crelle var ingen stor matematiker selv, men han var svært godt orientert i litteraturen. Han fikk et eksemplar av Abels avhandling om femtegradslikningen, men stilte seg noe skeptisk til at den unge nordboer hadde løst dette berømte problemet. Han klarte heller ikke helt å følge beviset. Likevel skjønte Crelle nokså umiddelbart at Abel var en stor matematisk begavelse, og han kom fra da av til å spille en avgjørende rolle for Abels utvikling.

Abel uttrykte overfor Crelle sin forundring over at det ikke fantes noe eget matematisk tidsskrift i Tyskland. Crelle fortalte da at han i lengre tid hadde hatt planer om å utgi ut et slikt. Like etter så første nummer av: "Journal für die reine und angewandte Mathematik" dagens lys. Hele fire av Abels avhandlinger ble trykt i det første nummeret av tidsskriftet, og seks nye kom før året var omme. Denne "Crelle's Journal" som den gjerne ble kalt, ble fort 1800-tallets ledende matematiske tidsskrift. Crelle selv oversatte Abels arbeider fra fransk til tysk, da Abel ikke var særlig kyndig i tysk. Disse arbeidene var av førsteklasses faglig kvalitet - et par av dem helt grunnleggende innen deler av faget. Alt dette skjedde mens Niels Henrik Abel bare var 23 år gammel.

Først i juli 1826 ankom Abel til Paris, det dominerende matematiske miljøet i verden og ett av reisens hovedmål. Etter noen måneders faglig pause, startet han nå opp med intense studier av noen av de tidligere interessene: Integraler av generelle algebraiske funksjoner og elliptiske funksjoner. Med hensyn til det siste utviklet han nå en omfattende generell teori. Dette kom til å bli et av hans betydeligste bidrag til matematikken. Abels reisevenner oppholdt seg bare en kort tid i Paris, og han følte seg noe ensom etter at de dro. Han hadde også litt vanskeligere for å få kontakt med franskmenn generelt enn med tyskere, til tross for at han behersket fransk bedre enn tysk. De franske matematikere var heller ikke lette å komme inn på livet. Av de mest kjente omtaler han Legendre som vennlig men "steinalt". Cauchy var både sær og arrogant, men Abel hadde selvsagt stor respekt for hans arbeider. Flere andre kjente navn, som Poisson, Fourier og Ampére beskjeftiget seg utelukkende med problemer fra fysikken på denne tiden. Laplace hadde avsluttet sin matematiske karriere, men Abel beundret arbeidene hans sterkt.

Abel leverte inn sin store avhandling om transcendente funksjoner til Akademiet i Paris, men Cauchy "ville neppe kaste øynene på den. Og jeg tør uten bram si den er god. Jeg er nysgjerrig etter å høre Instituttets dom", skrev Abel i et brev til Holmboe. Den omtalte avhandlingen ble framlagt til trykking 30. oktober 1826 og Legendre og Cauchy ble oppnevnt som bedømmelseskomité. Han forventet å få en rosende innstilling fra de to kjente matematikere i løpet av noen få uker. Dessverre var Cauchy, som skulle skrive og framlegge komitéens anbefaling, svært opptatt med egne idéer. Det bør her bemerkes at dette ikke var den eneste gang Cauchy forsømte sine plikter - noe som kom til å få svært uheldige konsekvenser for et par av de mest geniale unge matematikere. Avhandlingen ble senere funnet igjen og behandlet etter vår matematikers død. Abel ble da tildelt en stor fransk pris, og pengene gikk til hans familie. Dette er kanskje det arbeid som virkelig har gitt Abel en plass blant de fremste i matematikkens historie. Selve Paris-avhandlingen ble imidlertid ikke trykket før i 1841, etter at den norske regjering hadde tatt affære. Originalmanuskriptet trodde man senere ble borte for alltid. Men det ble funnet igjen så sent som i 1952 av Viggo Brun i et bibliotek nær Lorenzo-kirken i Firenze. Historien slutter imidlertid ikke med dette, for fortsatt viste det seg å mangle 8 sider. Så sent som i februar 2002 ble 4 av disse funnet av matematikeren Andrea Del Centina i et bibliotek i Livorno. Men fortsatt mangler vi altså 4 sider før hele den originale Paris-avhandlingen er samlet.

Abel ble i Paris til slutten av året 1826, men da var økonomien så skral at han bestemte seg for å dra tilbake til Berlin. Her fikk han hjelp og støtte av Crelle og andre venner. Han hadde planlagt å stoppe i Göttingen for å prøve å treffe Gauss, men p.g.a. slunken reisekasse måtte han ta raskeste veien til Berlin. Han fikk aldri anledning til å treffe Gauss senere - Gauss levde forøvrig svært tilbaketrukket og ville neppe ha vært lett å få i tale. I begynnelsen av februar 1827 var Abel syk en tid. Det er første gang i brev hjem til Norge at han nevner sykdomstegn. Det er grunn til å tro at det første alvorlige utslaget av lungetuberkulosen kom da.

Han forlot Berlin i slutten av april. Etter et opphold i København ankom han med dampskip til Oslo i mai 1827. Abel så nå fram til å jobbe i ro og fred. Han hadde ideer og materiale i massevis for flere års arbeid.

Reiseruten hadde vært anstrengende. Det meste foregikk med hest og trekkfulle vogner. Senere har en lurt på om påkjenningene under de lange reisene bidro til å svekke Abels helse og forsterke sykdomsprosessen som nå hadde begynt. Økonomien var også elendig, og etter mye om og men, og flere avslag fra departementet, endte det med at Abel ble bevilget et fast, men beskjedent beløp fra universitetets kasse. Dette var ikke nok til å betale gammel gjeld og til å leve anstendig. Også familien hans trengte økonomisk hjelp, og Niels Henrik måtte tre støttende til. For å kunne overleve ga han privatundervisning i matematikk.
 
 

Uendelige rekker
Abel var en stor beundrer av Euler. Under Berlin-oppholdet kom han sammen med en del unge matematikere som var svært opptatt av å gjenopprette logisk stringens i matematikken. Gauss og Cauchy hadde startet denne prosessen. De så et klart behov for å rydde opp i de holdninger og tendenser til å regne i vei uten omtanke for gyldighetsområder for formlene eller konvergens av de tallfølgene eller rekkene som dukket opp. Klassikere som Euler og andre ble derfor studert med skepsis. Abel fant kritikkverdige argumentasjoner hos disse. Han skrev bl.a. i et brev til Holmboe: "Divergente rekker er i det hele noe fandenskap, og det er en skam at man våger å grunne noen demonstrasjon derpå. Man kan få frem hva man vil når man bruker dem, og det er dem som har gjort så megen ulykke og så mange paradokser. Kan man tenke seg noe skrekkeligere enn å si at: 0 = 1 - 2ⁿ + 3ⁿ - 4ⁿ +... når n er et helt positivt tall?"

I samme brev skrev Abel: "Selv binomialformelen er ennå ikke strengt bevist". Han fortalte at han var i ferd med å skrive en avhandling om binomialformelen. Men arbeidet hans strakte seg langt videre, og ga en mønstergyldig framstilling av hvordan uendelige rekker skal behandles på en stringent måte.

I denne avhandlingen avslørte Abel også en feil (eller et "unntak" som han diplomatisk kaller det) i Cauchys standardverk "Cours d'Analyse" fra 1821. I denne boka hevdes det at en uendelig sum av kontinuerlige funksjoner selv er kontinuerlig i sitt konvergensområde. Men dette prinsippet er feilaktig, sier Abel. Han angir rekken

sin x - 1/2 sin 2x + 1/3 sin 3x - 1/4 sin 4x + 1/5 sin 5x - ....

x = (2m + 1) p   der m er et heltall.

Abels måte å tenke på i matematikken var ut fra den gamle, stringente tradisjonen. Under disse kritiske betingelsene skulle hvert eneste skritt i utviklingen være logisk. Alt skulle bevisføres etter gyldige slutningsregler. Hvis man for eksempel arbeidet med grenseverdier, måtte man først fastslå at de eksisterte. Med uendelige rekker måtte det bevises at de hadde en sum, dvs. at de var konvergente, ikke divergente. Innen teorien for uendelige rekker var det mye som måtte ryddes på plass. I sin behandling ga Abel et bidrag i retning av formalisering, noe som siden har blitt stående som en faglig standard når det gjelder behandlingen av uendelige rekker. Andre, bl.a. Weierstrass, fullførte denne prosessen.
 
 

Tuberkulose
Allerede høsten 1825 ble det ledig et professorat i Kristiania etter Søren Rasmussen, og Abel var en mulig etterfølger. Men hans venn B. Holmboe var også kandidat til stillingen. Holmboe ble utnevnt til universitetslærer i januar 1826. Dette er trolig den største forbigåelse i Universitetet i Oslo sin historie. Universitetets administrasjon begrunnet det med at Abel ikke ville kunne gjøre seg forstått for vanlige studenter, noe som var helt tatt ut av luften. Abel var en utmerket lærer, vel verd å høre på. Dikteren Vinje beskrev opplevelsen av hans undervisning som å sette "Araberhesten framfor kjerra" når Abel ved hjemkomsten måtte livnære seg ved å undervise elever som skulle ta eksamen artium.

Etter ankomsten til Oslo i mai 1827, arbeidet Abel intenst fram til januar 1829 da han ikke lenger klarte å skjule den alvorlige sykdommen han var rammet av. Han fikk et av de eldre arbeidene sine trykt i Det Kongelige Norske Videnskabers Selskabs Skrifter i Trondheim. Her ble han også innvalgt som medlem høsten 1827. Samlet skrev han 13 avhandlinger i denne perioden, den største på 126 store trykksider. Dette må ha kostet han masse krefter. Arild Stubhaug antyder i sin biografi at Abel kan ha fått sin sykdomsdiagnose allerede i Paris, og dermed hadde ant hva som lå foran... Økonomi bedret seg betraktelig våren 1828, da Hansteen dro på en vitenskapelig ekspedisjon til Sibir, og Abel gikk inn som vikar både på den militære høyskolen og ved universitetet. Han ble konstituert som dosent ved universitetet. For første gang i sitt liv hadde han regulær inntekt og kunne leve med noe mindre bekymring for det daglige brød.

Julen 1828 var Abel på besøk ved Froland verk ved Arendal, der forloveden Christine var guvernante. Men han hadde feber og hostet - og legen hadde før reisen frarådet ham å reise på den flere dager lange sledeturen. Etter julefeiringen på Froland, ble Abel så syk at han ikke kunne reise tilbake til Oslo. Han arbeidet fortsatt intenst med sin matematikk, men ble raskt dårligere og til sist sengeliggende. Med en kraftanstrengelse hadde han fått skrevet ned addisjonsteoremet, ett av hovedresultatene i Paris-avhandlingen, og sendte dette til Crelle. Dermed unngikk han at Paris-avhandlingen gikk i glemmeboken. Jacobi etterlyste den - post mortem. Abel døde på Froland den 6. april 1829. Noe av de siste tankene var for Christines framtid. Abel ba en av sine studievenner gifte seg med henne etter at han var gått bort, noe vennen også gjorde.

Figur 4. Matematikkinteressere kan fortsatt besøke Abels siste arbeidssted på Froland verk.

Abels sykeleie hadde strakt seg over 3 måneder, og var preget av fortvilelse over legevitenskapen og manglende forsoning med å skulle dø. Hvorfor skulle han dø, han som knapt hadde levd? Sterke følelser fra strevsomme dager, fattigdom og forbigåelser vellet fram i han med stor styrke. Denne livsfasen er en slående kontrast til måten dikteren Henrik Wergeland døde av samme sykdom noen tiår senere.

Pengesorger og bekymringer med hensyn til å få seg fast stilling, hadde forfulgt Abel helt til det siste. Til tross for flere henvendelser til norske og svenske myndigheter fra inn- og utland forble Abel uten noe sikkert løfte om fast stilling helt til han døde. Abels trofaste venn, Crelle i Berlin, kunne til slutt, etter stor pågåenhet og flere mislykkede forsøk endelig skrive til Abel at det var opprettet en stilling for han i Berlin og at han kunne forberede flyttingen: "....De kommer til et godt land, til et bedre klima, nærmere til vitenskapen og til oppriktige venner som setter pris på Dem og er glad i Dem." Men Crelles brev var datert 8.april, og da gjensto bare salmene ved reisens slutt på Froland. Abel ligger begravd på kirkegården der.
 
 

Grunnforskning
Matematikken fra 1600- tallet og fram til i dag har fungert som et viktig bidrag for utviklingen av dagens moderne samfunn. Selv om Abel ikke har grunnlagt noen egen teori i matematikken - slik som nordmannen Sophus Lie senere gjorde (Lie algebra) - regnes han som en av de fremste problemløsere innen faget. Sammen med Cauchy betraktes Abel som en av pionerene i moderne matematisk analyse. Franskmannen Hermite skal ha sagt at Abel har gitt matematikerne stoff å arbeide med i fem hundre år. Hvert år gis det fortsatt ut avhandlinger og artikler som refererer til has idéer. Dette er bemerkelsesverdig når vi tenker på at Abel drev sin egen forskning i kun fem år. Hans bidrag innen det vi kan kalle matematisk grunnforskning har vært en viktig veiviser for vår vitenskap og teknologi, og slik sett en av betingelsene for det vi kjenner som et intellektuelt og høyteknologisk samfunn.

Abel var internasjonal i sine faglige kontakter. Han var matematiker av anerkjent stort format alt mens han levde. Vurderingen av Abel i vår tid er at han rager blant de fremste matematikere som har levd. Han var også en viktig bidragsyter for å fundere faget mer begrepsmessig, reflekterende og resonnerende - framfor en rent regnemessig sjonglering med formler.

Litteratur:
Karl Egil Aubert: Niels Henrik Abel. Tidsskriftet Normat, No 4, 1979.
Otto B. Bekken: Read the Masters - Read Abel! Upublisert foredrag, Kristiansand 1988.
Bent Birkeland: Norske matematikere. Gyldendal 1993.
Per Hag: Ma 210, Matematikk fagdidaktikk. Kompendium NTNU, 1995.
Jens Petter Nilssen: Abelsenteret på Internett. Se: http://www.abel.org/
Øystein Ore: Niels Henrik Abel, Et geni og hans samtid. Oslo 1954.
Leiv Storesletten: Geniet Niels Henrik Abel. Eit 150-årsminne. Tidsskriftet Syn og Segn 1979, side 415-425.
Arild Stubhaug: Et foranskutt lyn. Niels Henrik Abel og hans tid. Aschehoug 1996.