Algebraens historie.

Av Elna Svege, Høgskolen i Agder, 4604 Kristiansand (e-post: Elna.Svege@hia.no),
og Steinar Thorvaldsen, Høgskolen i Tromsø, 9293 Tromsø (e-post: steinar@hitos.no)

Ordet algebra har vi fått fra det arabiske ordet "al-jabr", som betyr å gjenopprette eller gjøre fullstendig. Den arabiske matematikeren Al-Khwârizmî (ca. år 800 e.Kr), brukte ordet om en operasjon han utførte for å forenkle likninger. (Metoden med å flytte over ledd fra den ene side til den andre i en likning, samtidig som vi skifter fortegn). Algebraen vokste fram som et resultat av søkning etter løsninger av likninger, og er fra gammelt av "læren om likninger". Ordet har senere fått en mye videre betydning, men i grunnskole og videregående skole brukes ordet algebra først og fremst om manipulering av bokstavuttrykk og løsning av likninger.

For mange er det ukjent at dagens bokstavregning og formelspråk faktisk er en ganske ny oppdagelse som det tok lang tid å gjøre. Algebraens historie deles gjerne inn i tre stadier : 1. Retorisk algebra, 2. Synkopert algebra og 3. Symbolsk algebra. I den første fasen ble matematikken beskrevet verbalt i vanlig språk med ord og setninger. I den synkoperte fasen ble ordene mer og mer forkortet, mens i den symbolske fasen ble forkortelsene erstattet til fordel for mer abstrakte symboler og et formelspråk. Vår form for algebra er altså bare noen få hundre år gammel. Til slutt i denne artikkelen vil vi se litt på forskning som er gjort på elevenes utvikling i algebra.

1. Retorisk algebra

Denne perioden går fram til Diofantos (250 e.Kr), men strekker seg ennå 1000 år lengre i de fleste kulturer. Før Diofantos ble alle matematiske oppgaver beskrevet ved hjelp av vanlige ord, og fulle språklige setninger ble brukt for å uttrykke sammenhengene. Av og til ble den ukjente størrelsen erstattet med navn som "lengde" og "bredde", men aldri med bokstaver slik vi gjør. Den retoriske algebraen har sin opprinnelse i Egypt og Mesopotamia (ofte referert til som Babylonia) for nesten 4000 år siden. Skriftlig dokumentasjon fra Egypt stammer vesentlig fra to kjente papyrusruller: Moskvapapyrusen og Rhindpapyrusen. I Babylonia ble det utviklet mye interessant matematikk som ble bevart på leirtavler og som nå er dekodet og tolket. Av de tusenvis av leirtavlene som er funnet er det rundt 400 som inneholder matematiske tekster eller tabeller.

A. Egyptiske papyruser
I Nil-dalen og rundt Nilens delta vokste det fram en sivilisasjon ca. 3000 år f.Kr. De gamle egypterne kalte landet for Kemet eller Kemi som betyr "svart jord". Egypt lå gunstig til skjermet for invasjon, og jorda var svært fruktbar og ga gode avlinger. Menneskene utviklet et velordnet samfunn og bygde vanningssystemer, pyramider, templer osv. Det oppsto dermed et behov for kunnskaper i matematikk.

Egypterne skrev på papyrus. Papyrus er et skjørt materiale, men en del tekster er bevart, takket være det tørre klimaet. Det som er funnet om matematikken i det gamle Egypt, kommer hovedsakelig fra de to nevnte papyrusrullene. Den ene kalles "Moskva papyrusen" fordi den oppbevares i et museum i Moskva. Den andre kalles "Rhindpapyrusen" etter den skotske arkeologen som fant den. Den kalles også - med større rett - Ahmes' regnebok etter den skriveren som laget den. Denne oppbevares nå i British Museum i London. Begge disse tekstene er en slags oppgavesamlinger med løsninger. Der er til sammen 110 oppgaver. Noen oppgaver er rent matematiske, mens andre handler om kornforbruk til brød og øl, fórblanding til husdyr, lagring av korn osv. Mange av de praktiske problemstillingene leder til enkle lineære likninger.

Den største er "Rhindpapyrusen" som er 5,44 meter lang og 33 cm bred. Bildet over viser en del av den. Vi kan kjenne igjen geometriske figurer som vitner om det matematiske innholdet i teksten. Vi regner at denne papyrusene er skrevet i ca. år 1700 f.Kr.

"Gjett og juster"
Egypterne kunne løse lineære likninger og annengradslikninger. Det er også funnet eksempler hvor det arbeides med likningssystemer. Alt ble beskrevet med ord, og en satte ikke opp likninger slik vi ville gjøre i dag.

Egypterne hadde en metode som de ofte brukte når de skulle løse litt vanskeligere lineære likninger. Metoden ble kalt "regula falsi" som vi kan oversette med "gjett og juster". Typisk er den såkalte Hau-regning. Vi vil si at det er likninger med en ukjent.

Eksempel (problem 26 fra Rhindpapyrusen):
En "hau" og en kvart gir tilsammen 15. Regn med 4, legg til 1/4 dvs 1 og tilsammen 5. Del ut 15 med 5 og får 3. Endelig multipliser 4 med 3 og får 12. Den søkte "hau" er 12.

Hvordan ble regnestykket egentlig utført? Hvorfor var det nødvendig å gjøre det så vanskelig, sett fra vår synsvinkel? Jo, egypterne manglet en del av vårt matematiske språk. Vi ville sette opp likningen slik:

og løse den direkte:

5/4 x = 15
x = 60/5
x = 12

I den egyptiske teksten er den opprinnelige formuleringen beholdt så lenge som mulig. En foreslår først svaret 4, antakelig fordi det er så lett å finne 1/4 av. Regner en ut som om 4 var svaret, får en tilsammen 5. Det er 1/3 av det svaret skulle være, og en må multiplisere alle tall med 3. Denne regnemåten ble lært langt opp mot vår tid under navnet "regula falsi". Vi kan nå lett se at den bare vil gjelde for likninger av første grad med en ukjent. Vi synes ikke det er nødvendig å ha en spesialregel for dette tilfellet. I Egypt var det annerledes - der manglet de et formelspråk, og tilfellet med en likning med en ukjent, inngikk ikke som spesialtilfelle av noe mer generelt.

Grunnen til at metoden fungerer, er den lineære sammenhengen mellom størrelsene. Metoden bygger på en forståelse av linearitet, og går ut på at en gjetter på en verdi for den ukjente og regner gjennom oppgaven med denne. (Vi ville si at vi setter denne verdien inn i likningen.) Vanligvis stemmer ikke det resultatet en får, men en kan vurdere "hvor feil" svaret blir, og så justere verdien en gjettet tilsvarende. I vår tid er denne gamle metoden videreutviklet til en måte å løse vanskelige likninger ved hjelp av datamaskiner. Fagområdet går under navnet "numeriske metoder".

Den avkuttede pyramiden
Egypterne er jo kjent for sine pyramider. Det mest avanserte matematiske problem i de egyptiske tekstene er det følgende fra "Moskvapapyrusen":

Problemet er å regne ut volumet av en rettavkuttet pyramide med kvadratisk grunn- og toppflate. Her er et fotografi av selve papyrusteksten.

Figuren viser pyramiden sett fra siden. Rundt figuren er det en rekke tall - tall som brukes til mellomregninger og gir pyramidens størrelse. Pyramidens grunnflate har side 4 alen, høyden er 6 alen og toppflaten har side 2 alen. Figuren er ganske unøyaktig. Det kan bety at det ikke var viktig og vi var kommet til et abstraksjonsnivå over det å tegne en nøyaktig figur og så måle på den.

La oss se hva teksten sier:

Legg sammen 16
med 8 og med 4
Du får 28. Regn så
1/3 av 6. Du får 2.
Regn så 28 2 ganger. Du får 56.
Se - det er 56.

Du har funnet svaret.

Vi ser at det hele er formulert som et regnestykke for en spesiell rettavkuttet pyramide. Ikke i noen tekster fra Egypt eller Mesopotamia har en gått ut over slike spesielle regnestykker. Hvilken "formel" ligger bak regnestykket? Jo den korrekte:

Kjente opphavsmannen til regnestykket denne formelen? Det er klart at en slik formel finner en vanskelig ved bare prøving og feiling. Men verken den generelle prosedyren eller formelen er nevnt i teksten. De regnet trolig uten formler og uten bevis. Babylonerne har på samme tid regnestykker som bruker den gale oppskriften:

Babylonernes "formel" ville gitt svaret 60 for volumet av den rettavkuttede pyramiden. Feilen er på under 10% og for mange praktiske formål akseptabel.

B. Babylonske leirtavler
Rundt byen Ur ved elva Eufrat vokste det fram et velordnet samfunn før år 2000 f.Kr. Etter hvert spredte samfunnet seg til større områder rundt Eufrat og Tigris, og maktsentret flyttet til Babylon i nåværende Irak. Som tallsystem brukte de et 60-tallsystem som vi fortsatt har spor av i moderne tid når vi måler timer i 60 minutter og minutter i 60 sekunder.

Babylonerne utviklet tidlig en teknikk for å prege skrifttegn i leirtavler ved hjelp av spesielle pinner. Tavlene ble etterpå brent og ble dermed like holdbare som murstein. I løpet av de siste hundre år har arkeologer funnet flere hundre tusen bruddstykker av slike tavler. Skrifttegnene er blitt tydet. Det viser seg at de fleste tekstene er dikt, brev, dokumenter og liknende, men det finnes også flere matematiske tekster med tabeller og matematiske oppgaver hentet fra det praktiske liv. Figuren under viser en gammel babylonsk leirtavle, (Plimpton 322), som er datert til mellom 1900 og 1600 f.Kr. Den inneholder en oversikt over pytagoreiske talltripler, dvs tall a, b, c, slik at: a² + b² = c². Dette er trolig det eldste tallteoretiske dokument som eksisterer.

Rundt 2000 f.Kr. hadde babylonere utviklet en retorisk algebra. De løste annengradslikningen ved å lage et fullstendig kvadrat. Nedenfor ser vi den retoriske stilen de brukte og metoden med "gjett og juster". Eksemplet viser et relativt avansert nivå innen babylonsk algebra.

Problem
La oss si at summen av lengde og bredde av et rektangel er 32 og at arealet av det er 252. Vi vil finne lengde og bredde. Vi følger metoden:

Kontroll: Jeg har multiplisert lengden 18 med bredden 14 · 18 - 14 = 252, og dette er arealet.

På babylonske leirtavler er det funnet tabeller over de 30 første kvadrattallene, fra 1² til 30², like mange kubikktall, og en tabell over tall på form x³ + x² . Denne ble brukt av babylonerne til å løse tredjegradslikninger av enkel type. De hadde også tabeller over inverse tall som ble brukt ved divisjon.

C. Kineserne
Det er funnet spor som tyder på at det har eksistert sivilisasjoner i Kina for ca. 5000 år siden. Men den første sivilisasjonen en har sikre opplysninger om, er den som vokste fram rundt elva Huang ca. år 1600 f.Kr.

En av de eldste matematiske skriftene som er funnet i Kina er "Jiuzhang suanshu" som betyr "Ni kapitler om matematikkens kunst". Forskere har ikke klart å finne ut nøyaktig når matematikken en finner her ble nedtegnet, men den matematiske utviklingen i Kina ligger flere hundre år etter utviklingen i Egypt og Babylonia. Det er ikke kjent om kineserne har mottatt impulser fra disse områdene.

Det meste av det som er funnet om likningsløsning i det gamle Kina, stammer fra perioden 200 f.Kr. til 200 e.Kr. Vi skal se på et eksempel som er hentet fra "Jiuzhang":

Problem
"Prisen på 1 acre med godjord er 300 gullmynter, og prisen på 7 acres med dårlig jord er 500 gullmynter. En person har kjøpt til sammen 100 acres til en pris av 10000. Hvor mye god og hvor mye dårlig jord ble kjøpt?" (Acre er en måleenhet.)

Skrevet med moderne formler, svarer problemet svarer til å løse likningssystemet:

Kineserne løste problemet retorisk ved å bruke denne tankegangen: De gjettet på løsningen x = 20 og y = 80 som passer i den første likningen og som innsatt i den andre likningen gir:

Deretter prøvde en med x = 10 og y = 90 som passer i den første likningen og som innsatt i den andre likningen gir:

300 x + 500/7 y = 300 · 10 + 500/7 · 90 = 10000 - 571 3/7
- dvs. et "underskudd" på 571 3/7

Kineserne fant så x, ved å regne ut det vi ville kalle et veid gjennomsnitt med hensyn på "overskuddet" og "underskuddet" beregnet over:

D. Grekernes geometriske algebra
Vi skal her se på perioden ca. 600 f.Kr. til ca. 250 e.Kr. Det finnes komplette tekster først fra ca. 300 f.Kr., men vi har henvisninger til og fragmenter av tidligere tekster. Det greske kulturkrets omfattet større områder enn det som i dag er Hellas. Den retoriske algebraen utviklet seg videre i den greske kulturen med bl.a Pytagoras og Euklid.

Den før-greske matematikk hadde vært praktisk beregnende, gjerne formulert som oppskrifter for problemløsning. Matematikken var algoritmisk med bestemte løsningsmetoder. Noen var riktige, andre var gale. Men en ny holdning til matematikk vokste fram hos grekerne. Grekerne vil nemlig vite "hvorfor" og ikke bare "hvordan". De krevde eksakte beviser. Dette har blant annet blitt forklart med at et utviklet sosialpolitisk og kulturelt liv krevde at diskusjonskunsten ble høyt utviklet, slik at man kunne forsvare sine påstander i kamp med motstanderen. Bevisene dere var ofte geometriske og visuelle, så det passer å kalle grekernes bidrag til algebraen for geometrisk algebra.

Pytagoras (ca.572-497 f.Kr.) kom fra Samos og reiste mye bl.a. til Egypt og Babylonia før han slo seg ned i Sør-Italia. Her samlet han en gruppe disipler rundt seg, senere kjent som pytagoreerne som både var en religiøs orden og en filosofisk skole. Matematikk var en del av pytagoreernes religion. De naturlige tall sees på som basis for universet, og alt kan telles.

Pytagoreerne studerte både tallteori (aritmetikk) og geometri. I aritmetikk fant de en rekke resultater om tall og deres faktorer. De undersøkte bl.a. "vennlige tall", "perfekte tall", og "overflødige tall". De studerte også såkalte "figurtall": trekanttall, firkanttall, femkanttall osv. I geometri må vi nevne Pytagoras læresetning som vi vet var kjent minst 1000 år før Pytagoras, men som han trolig ikke hadde noe generelt bevis for.

Euklid (ca 300 f.Kr.) levde og arbeidet i Aleksandria. Vi vet ikke om Euklid selv har utviklet ny matematisk teori, men som lærebokforfatter har han hatt en avgjørende betydning. Den mest kjente er Euklids "Elementer", et verk på 13 bøker som har vært brukt som lærebøker og mønster for lærebøker helt fram til vår tid. Det er kopier av Elementene som er bevart i dag. Disse er ofte utvidet med kommentarer og tilføyelser.

Elementene bygger på tidligere matematikeres arbeider, og omhandler følgende temaer:

I Bok II begynner den geometriske algebraen for alvor, og denne vil i det følgende være mest interessant for oss. Etter to innledende definisjoner formuleres og bevises en rekke geometriske resultater som vi i våre dager finner det naturlig å formulere ved hjelp av algebraiske symboler og formler.

Definisjon 1 :
Ethvert rektangel sies å være utspent av de to rette linjene som danner en rett vinkel i rektangelet.

Vi vil nå se nærmere på to av proposisjonene i bok II.

Proposisjon II-4:
Hvis en rett linje deles tilfeldig vil kvadratet på hele linja være lik kvadratet på de to delene og to ganger rektangelet utspent av de to delene.

Figuren som følger etter proposisjonen ser slik ut :

A₁ er kvadratet av den største delen
A₂er kvadratet på den minste delen
A₃ + A₄ er to rektangler

Proposisjonen svarer til 1.kvadratsetning : (a + b)² = a² + b² + 2ab.

Proposisjon II-5:
Hvis en rett linje er delt både i like og i ulike deler, er rektangelet utspent av de ulike delene av linja sammen med kvadratetet på linjestykket mellom delingspunktene lik kvadratet på det halve linjestykket.

Figuren vil se slik ut :

I figuren settes : AB = b, AC = BC = b/2, BD = x

A₁ er rektangelet utspent av de ulike delene (dvs. x og (b - x) )
A₂ er kvadratet av linjestykket mellom delingspunktene (dvs. (b/2 - x)²)
A₃ er kvadratet på det halve linjestykket (dvs. (b/2)²)

Setningen sier altså at: A₃ = A₁ + A₂

Med moderne formler sier proposisjonen :

(b - x) x + (b/2 - x)² = (b/2)² (1) Ved hjelp av denne formelen fra proposisjon II-5 er det mulig å løse 2.gradslikningen : bx - x² = c
x(b - x) = c Dersom vi setter dette inn i likning (1) får vi :

Som er lik vår moderne formel for løsning av 2. gradslikning. Denne metoden er også kjent fra babylonerne.

E. Araberne
Den greske kulturen fortsatte i flere århundrer i Romerriket, mest fordi museet i Aleksandria fortsatt eksisterte. Romerrikets regjering så ikke på forskning i matematikk som en viktig nasjonal interesse. Ved ødeleggelsen av biblioteket i slutten av 400-tallet ble den matematiske aktivitet mindre og mindre. Etter Romerrikets fall på 500-tallet gikk europeisk kultur på mange måter inn i en passiv "mørketid" i mange hundre år.

I mellomtiden blomstret matematikken i andre deler av verden. Araberne kom etter profeten Mohammeds tid (ca. 570-632 e.Kr.) til å spille en stor rolle i matematikkens historie. Det muslimske riket strakte seg på begynnelsen av 700-tallet fra Spania i vest til India i øst. Fra 766 var hovedstaten i Bagdad. Der ble det bygd et bibliotek og vitenskapsakademi hvor greske og indiske verker ble oversatt og bearbeidet videre. Vitenskapsakademiet ble kalt Bait el-hikma som betyr Visdommens hus. Araberne ble formidlere av gresk, indisk, kinesisk og babylonsk matematikk, og de gikk også videre enn sine læremestere.

Araberne er kjent for å ha utviklet det desimale posisjonssystemet til også å omfatte desimaler og brøker, og de er kjent for sine arbeider i geometri og algebra. Tre meget brukte ord i matematikken kommer fra araberne, nemlig siffer, algoritme og algebra. Ordet siffer kommer fra indernes ord for null som araberne oversatt til "as-sifr". Det gav også opphav til ordet "deschiffrere" fordi de indiske tallene flere steder ble bannlyst fra offentlige dokumenter. Når de allikevel ble brukt privat måtte de "dechiffreres". Ordet algoritme er en forvanskning av navnet Al-Khwârizmî (ca. år 800 e.Kr). Ordet algebra har vi tidligere sett at kommer fra "al-jabr" som betyr å gjøre fullstendig. Al-Khwârizmî brukte "al-jabr" om metoden å flytte ledd over fra en side til den andre i en likning, samtidig som det skiftes fortegn.

Al-Khwârizmî kom fra byen Khwarezm ved Aralsjøen. Som matematiker arbeidet han innenfor den retoriske tradisjonen. Han brukte ikke bokstavsymboler i sin matematikk, men anvendte ofte geometriske betraktninger som støtte for sine resonneringer. Det indiske tallsystemet gjorde gradvis sitt inntog i den arabiske verden. I en bøker av Al-Khwârizmî fra ca. 800 finnes en introduksjon til det indiske tallsystemet og en gjennomgang av hvordan vi regner med disse tallene. I bøkene tar Al-Khwârizmî avstand fra den "greske lærdhet". Han ville skrive en lettfattelig bok for enkle folk.

I en av bøkene sine gir Al-Khwârizmî annengradslikninger en grundig gjennomgang. Han deler disse inn i 6 typer. De 6 typene er :

1) ax² = bx
2) ax² = c
3) bx = c
4) ax² + bx = c
5) ax² + c = bx
6) bx + c = ax² Merk at ax² + bx + c = 0 ikke ville hatt noen løsning siden a, b og c er forutsatt og være positive tall. Det er kun positive løsninger som blir betraktet. Løsningen av de tre første likningene er rett fram, men x = 0 i likning 1) oppfattes ikke som løsning. De tre siste tilfellene er de samme som vi har møtt hos babylonerne og grekerne. Al-Khwârizmî har ingen motforestillinger mot å addere tall av "ulik dimensjon", slik grekerne hadde det.

Eksempel
Løsning av type 4): x² + bx = c :

Al-Khwârizmî angir "formelen" retorisk (dvs med ord) :

for den positive løsningen. Han begrunner "formelen" geometrisk slik babylonerne og grekerne også gjorde.

F.eks x² + 10x = 39 begrunnes slik:

Etter at Al-Khwârizmî har gitt en grundig behandling av annengradslikningene, bruker han teorien til å løse praktiske problemer særlig knyttet til handel og økonomi. Han behandler også likningssystemer med 2 ukjente. Dette gjorde han ved å overføre likningssystemene til annengradslikninger med en ukjent. Han tok også for seg likningssystemer Diofantos hadde drøftet, men kjente neppe arbeidene til Diofantos. Noe nytt hos Al-Khwârizmî var at han aksepterte irrasjonale løsninger på likningene sine. Dette forekommer ikke ofte og det er som regel enkle likninger som løses, f.eks :

4x² = 20 som har løsningen x = .

Araberne gjorde store fremskritt i algebra. De bygde stort sett på tidligere arbeider av babylonerne. Deler av deres arbeider ble etterhvert kjent i Europa, spesielt av Fibonacci, og fikk dermed betydning for den videre utvikling der.

F. Europa i middelalderen.
Europa i tidlig middelalder (ca.400-1000) er preget av Romerrikets fall og oppretting av nye stater og grenser. I denne perioden finner vi liten matematisk aktivitet i Europa. I det føydale samfunn som nå oppsto, konsentrerte en seg om jordbruket. Jordbruksteknikkene var tradisjonsbundne og krevde ingen innsats fra matematikk og naturvitenskap.

I sen middelalder ble det så en fornyet interesse for matematikk. Gjennom kontakt med araberne på 1000 og 1100-tallet fikk europeiske lærde kjennskap til greske og arabiske verker. Samarbeidet mellom kristne, arabere og jøder blomstret især i Spania. Toledo ble etter hvert sentrum for flere oversettelser av greske og arabiske verker.

Leonardo av Pisa (Fibonacci)
Leonardo (1170-1240) ble født i Pisa. Hans far var handelsmann og sørget for at sønnen lærte seg grunnleggende regneferdigheter slik at også han kunne bli handelsmann. Under sine omfattende handelsreiser fikk Leonardo kjennskap til arabisk matematikk.

I 1202 utga Leonardo sitt viktigste verk, "Liber abbaci" (regnebok). Den består av 15 kapitler på 459 sider og regnes som sin tids viktigste matematiske skrift. Boka bygger på arabiske arbeider og inneholder regler for regning med de nye hindu-arabiske tallene (mest vanlig på denne tida var romertall) og praktiske problemer blant annet fra handel. Den inneholder også problemer som leder til annengradslikninger og diofantiske likninger. Framstillingsformen er fortsatt retorisk.

Den tysk-romerske keiser Friedrich II hadde sterke kulturelle interesser og han spredte arabisk kunnskap til Europa. Han innkalte Leonardo til å ta del i en matematisk turnering, hvor keiseren var til stede (1224). Leonardo ble av keiserens filosof forelagt denne oppgaven:

Problem:
Finn tre kvadrattall med innbyrdes avstand 5.

Dvs. finn x, y, z slik at : x² + 5 = y² og x² - 5 = z² (1)

Leonardo angriper det mer generelle problemet :

x² + n = y² og x² - n = z² (2) og innfører det han kaller fornuftige tall definert ved:

Han viser at slike tall alltid er delelig med 24, og at likning (2) er løsning bare dersom n er et fornuftig tall (han leter kun etter heltallige løsninger). Videre sier Leonardo at n = 5 ikke er fornuftig, men 720 = 12²·5 er fornuftig. Da er a = 5 og b = 4. Velger så x = 41 og får : 41² + 720 = 49² og 41² - 720 = 31²

Det gitte likningssystem (1) har den rasjonale løsningen:

. Leonardo fikk også denne oppgaven:

Løs tredjegradslikningen: x³ + 2x² + 10x = 20 .

Leonardo beregnet en rot med en nøyaktighet som svarer til 11 desimaler. Han beviste også at løsningen ikke kan være rasjonal og heller ikke kvadratroten av et rasjonalt tall.

Liber abbaci og Leonardos øvrige verker var for vanskelige for hans samtid, og det gikk 200 år før hans verker fikk betydning for matematikkens videre utvikling. I denne perioden ble andre matematikere som ikke på langt nær nådde så langt som Leonardo mer populære.

2. Synkopert algebra

Denne perioden går fra Diofantos (250 e.Kr.) til Francois Viète ( slutten av 1500 tallet). Diofantos var den første som innførte symboler for en ukjent størrelse og potenser av denne. Symbolene var en slags forkortelser, ikke operativ bokstavregning på vår måte. På grunn av bruken av ordforkortelser i en ellers retorisk framstilling, har Diofantos' algebra blitt kalt synkopert. Den blir gjerne plassert som en overgang mellom den eldre og helt retoriske formen, og den moderne symbolske algebraen, selv om ren retorisk algebra ble brukt lenge etter Diofantos' tid. Diofantos var en matematiker forut for sin tid, og mye av det han drev med gikk i glemmeboken.

Diofantos (ca. 200-285 e.Kr) var den siste virkelige betydelige matematiker i den greske matematikks kultur. Han bodde i Aleksandria. Diofantos' hovedverk "Aritmetika" består av 13 bøker. Seks er bevart på gresk (I - VI) og fire er nå funnet i arabisk versjon (A,B,C og D). Aritmetika handler om løsning av likninger, og som vi har nevnt tidligere så var Diofantos den første som innførte symboler for en ukjent størrelse og for potenser av denne. Diofantos søker rasjonale løsninger til sine likninger som også har rasjonale koeffesienter. Når det er snakk om polynomlikninger kan man ved å multiplisere med et passende tall gjøre de rasjonale løsningene til heltallsløsninger. Likninger hvor man ønsker heltallige løsninger kalles også i dag diofantiske likninger.

Diofantos' symboler:

- symbol for ukjent størrelse x

- symbol for x²
K^y- symbol for x³

- symbol for x⁴

- symbol for x⁵
K^yK - symbol for x⁶ Diofantos kunne reglene for multiplikasjon med negative tall og han løste likninger ved å addere eller subtrahere samme uttrykk på begge sider av likhetstegnet. Mange av Diofantos' problemer har flere løsninger. Ofte finner han fram til bare en løsning, men bruker en metode som kan generaliseres til å finne flere løsninger. Vi vil nå gjengi noen av Diofantos' problemer fra Aritmetika. For å ikke gjøre det for vanskelig vil vi bruke vår "moderne notasjon".

Problem I-1
Å dele et gitt tall i to tall med en oppgitt differanse.

Diofantos løser problemet når tallet er 100 og differansen er 40.

Dersom x er det minste av de to tallene er :

x + (x + 40) = 100
2x + 40 = 100
x = 30 Metoden fungerer også for et gitt tall a og en differanse b med b < a. Vi får 2x + b = a og da blir x = (a - b)/2

Problem I-27
"Å finne to tall slik at deres sum og produkt er gitte tall.

Gitt summen 20. Gitt produktet 96. 2x er den ønskede differansen. Derfor er tallene 10+x og 10-x. Da blir 100-x² lik 96. Da blir x lik 2 og de ønskede tallene er 12 og 8".

Problem II-8
Å dele et gitt kvadrattall i to kvadrater.

Dvs. å bestemme x og y slik at x² + y ² = b²

Diofantos løste problemet når b² = 16.
Han satte y² = 16 - x² = (2x - 4)² dvs at x = 16/5

Generelt settes y = ax - b, a kan velges fritt men b velges .
Da kan vi få så mange løsninger vi måtte ønske.

Problem A-25
Å finne to tall, det ene et kvadrat og det andre en kube, slik at summen av kvadratene deres er et kvadrat.

Dvs. at vi skal finne x,y og z slik at (x²)² + (y³)² = z²

Diofantos finner en løsning ved å sette x = 2y :

16y⁴ + y⁶ = z² = kvadrattall som settes lik (ky²)²
16y⁴ + y⁶ = k²y⁴
y⁶ = (k²- 16)y⁴
y² = k²- 16 F.eks gir k = 5 : y = 3, x = 6, x² = 36 og y³ = 27.
Generelt kan vi sette x = ay for å finne flere løsninger.

Vi bør her også ta med noen ord om Hypatia (ca. 370-418 e.Kr.), siden hun er den første kvinnelige matematikeren som er nevnt i historien. Hennes far var også matematiker, og hun var lærer i filosofi i Aleksandria. Hun skrev flere matematiske verker og kommentarer til andre verker bl.a Diofantos' Aritmetika. Ingen av disse eksisterer i dag. Hypatia ble myrdet av religiøse fanatikere. Vi kan si at dette markerer slutten på den greske storhetstid.

I de neste 1300 år fortsatte matematikere å utvikle en begrenset form for symbolbruk. Spesielt Johan Gutenbergs oppdagelse av boktrykkerkunsten rundt 1440 ga fart til denne utviklingen. Her følger noen eksempler:

I India brukte Brahmagupta (født 598 e.Kr) og Bhaskara (født 1114) forkortelser slik: ya er forkortelse for x, yav er forkortelse for x², yagh er forkortelse for x³, yavv er forkortelse for x⁴ og ru er forkortelse for konstantledd.
I Europa i renessansen (1400-1700) begynte symbolbruken å utvikle seg noe raskere. Tidlig på 1400t begynte abacistene (matematikklærere) å ta i bruk forkortelser for ukjente: C er forkortelse for cosa som betyr ting/ukjent (x), Ce er forkortelse for censo som betyr kvadrat (x²), Cu er forkortelse for cubo som betyr kube (x³). Tegnet R ble brukt som forkortelse for Radix som betyr kvadratrot, da de arabiske matematikere hadde betraktet et kvadrattall som vokst ut fra en "rot".
På slutten av 1500t var symbolene p (piu) og m (meno) for pluss og minus mye brukt i Italia.
Tyskeren Johannes Regiomontanus var trolig den første som brukte symbolene + og - i et upublisert manuskript fra 1456. Symbolet + er sannsynligvis en forkortet skriveform for det latinske ordet et som betyr og.
Det moderne rottegnet ble innført av tyskeren Christoff Rudolff i hans algebrabok fra 1525.
I 1557 innfører Robert Recorde to parallelle linjer = som tegn for likhet.
Kryssymbolet × for multiplikasjon ble innført av engelskmannen William Oughtred i 1631. Leibniz innførte prikksymbolet · i 1686.
Det første divisjonstegnet i en trykt bok ble brukt av Johann Henrich Rahn i 1659. Dette symbolet hadde lenge vært i bruk som minustegn i Skandinavia og deler av Europa. Men tegnet ÷ har sin symbolske bakgrunn i to tall som adskilles av brøkstrek, og i engelsktalende land og på lommeregnere har tegnet alltid stått for divisjon.

3. Symbolsk algebra og formelspråket

Vi har sett hvordan interessen for matematikk vokste i siste del av middelalderen. Den europeiske matematikken var preget av en langsom tilegnelse av tidlige tiders verker. Først i renessansen lyktes det å slå ut de gamle grekerne, inderne, kineserne og araberne. I Nord-Italia lykkes det i denne perioden å løse både tredje- og fjerdegradslikninga. Symbolbruken i denne perioden utvikler seg gradvis fram mot våre "moderne" notasjoner.

Det matematiske tyngdepunktet flyttet seg gradvis også lenger nord i Europa, og det tredje stadiet av algebraens utvikling regner vi starter med den franske matematikeren Francois Viète (1540-1603). Inntil nå hadde bokstaver i algebra kun stått for den ukjente. Viète utvider nå symbolbruken slik at han bruker bokstaver også for koeffesienter i en likning. Viète er altså den første til å innføre et system med parametre i likninger. Han brukte konsonanter B, C, D,... for kjente størrelser og vokaler A, E, I,... for ukjente størrelser. Dermed var Viète i stand til å vise formler i stedet for regler, f.eks for røttene i en likning.

Viète var jurist og i sin fritid studerte han matematikk og astronomi. Han gjorde et omfattende arbeid innenfor likninger og løste blant annet tredjegradslikninger ved hjelp av proporsjoner og trigonometri. Viètes abstraksjon og symbolbruk, sammen med den øvrige utviklingen i bruk av notasjon, gjorde algebraen mye lettere å behandle for de kommende matematikere. Den symbolske algebraen førte til store framskritt i utviklingen av funksjonsbegrepet og analytisk geometri. Det karakteristiske formelspråket har siden den tid vært en viktig og effektiv del av faget matematikk.

Viètes bok "In artem analyticem isagoge", utgitt i 1591, er det første arbeidet i symbolsk algebra eller, som Viète foretrakk å uttrykke det, analyse. Viète generaliserer her det greske tallet, "arithmos". Det nye objektet kaller han "species", eller "tingens form", og beregningen "logistice speciosa". Boka består av åtte kapitler. På slutten av kapittel 5 bemerker Viète at Diofantos, selv om han arbeidet med species, likevel presenterte sine beregninger ved hjelp av tall "for at hans intelligens og dyktighet mer skulle kunne beundres av andre". Viète generaliserer Diofantos' metoder og lar de gitte tallene bare i prinsippet være gitt, dvs. han introduserer bokstaver (parametre) for disse "species". Med disse bokstavtegnene utfører han sine beregninger, som altså gikk under navnet "logistice speciosa".

Viète generaliserer altså både begrepet tall og størrelse og skaper et nytt matematisk objekt som man kan utføre beregninger med. Viète hevdet at når man startet med å introdusere de gitte tallene som bare i prinsippet er gitt får man etter utregning parametriserte uttrykk for de søkte "species" (vokalene), uttrykt ved de gitte (konsonantene). Ved til slutt å tildele de gitte "species" relevante verdier, får man de søkte tallene.

La oss, for å se det nye i Viètes metode, sammenlikne med hvordan Diofantos løste følgende problem (Problem I-27 fra Diofantos' Aritmetika, se avsnitt 2 over). Vi lar, som hos Viète, konsonant være kjente og vokalene ukjente tall:

Problem:
Finn to tall der summen og differansen er gitt.

Når Diofantos løste dette problemet, velger han to vilkårlige tall som han lar være henholdsvis summen og differansen. Viètes løsning ser imidlertid slik ut:

Oppstilling av likninger:

A + (A + B) = D

En parametrisert løsning blir dermed:

A +B = (1/2)D + (1/2)B

Beregning av konkrete tall framkommer ved å sette inn kjente verdier for D og B.

Det moderne symbolske tallbegrep er dermed introdusert, noe som også muliggjør formler og representerer et stort skritt mot den abstrakte algebra.

Senere modifiserte René Descartes (ca. 1630) Viètes skrivemåter noe, og innførte de første bokstavene i alfabetet, a b c ..., som tegn for de kjente størrelsene og de siste bokstavene, z x y ..., som tegn for de ukjente. Det er slik vi fortsatt gjør det.

4. Elevenes utvikling i algebra

Dersom vi tar i betraktning den beskrevne lettelsen eller effektiviteten i behandlingen av algebra, så ville det være rimelig å anta at straks elever lærer denne symbolbruken så ville de ta den i bruk i enhver mulig kontekst. Flere undersøkelser viser at dette ikke er tilfelle. Alle data viser at selv elever med flere år med symbolsk algebra kan gjøre det bedre med verbale metoder enn symbolske metoder. En undersøkelse gjort av E. Harper i 1987 viser at elever ofte velger retoriske metoder dersom de ikke er nødt til å bruke symbolsk algebra. I sine eksperimenter ber Harper elever løse et av Diofantos' problemer. Han fant at ikke bare blant de yngste, men også blant eldre elever, foretrakk de fleste verbale forklaringer. Harper sier videre at resultatene ikke kan forklares ved klasseromserfaring siden elevene aldri ble trenet i å finne verbale forklaringer på tekstoppgaver. Altså ble de retoriske metodene brukt spontant, uavhengig av instruksjon.

Harpers undersøkelser viser også at elever har problemer med å bruke Viètes variable. Elever ble bedt om å vise om det er mulig å finne to tall dersom summen og differansen er gitt. Halvparten av de eldste elevene i eksperimentet valgte diofantiske (synkoperte) metoder framfor Viètes (symbolske) metoder. Elevene valgte nemlig tilfeldige konkrete tall for summen og differansen. Elevene løser ofte problemer bedre ved å bruke tall og dagligspråk, enn ved å bruke algebra. Det algebraiske språk blir ikke uten videre en del av elevenes naturlige måte å tenke på. Problemene ser ut til å måtte ha en viss vanskelighetsgrad før elevene synes det er hensiktsmessig å bruke algebra.

Det som også er interessant er at de tre stadier som algebraens historie har gjennomgått, finner vi igjen i elevenes løsningsstrategier. Grunnlaget for å regne med symboler er elevenes erfaringer i å regne med tall. Forskningen viser at elevene går fra retoriske løsningsmetoder til synkoperte (diofantiske) og videre til symbolske løsningsmetoder. Viètes bruk av symboler for gitte størrelser blir tatt opp ganske sent av elevene. Skrittet fra synkopert til symbolsk algebra tok over 1300 år. I klasserommet forventer vi at samme skritt skal tas i løpet av mindre enn fem år. Allikevel må algebraen karakteriseres som en krevende, men vellykket pedagogisk teori for en stor del av elevgruppen i skoleverket. Et annet område der man har mislyktes, var den såkalte "moderne matematikk" på 1960-tallet. Da prøvde lærere å introdusere mengdelære og logikk i skolene ved hjelp av formelle symbolske teorier. Dette falt ikke heldig ut. Logikken ser altså ut til å være nærmere knyttet til det naturlige språk enn likningene er det.

Litteratur:
Andersen, K. (red.): Kilder og kommentarer til ligningernes historie. Trip forlag, Danmark, 1986.
Holme, A.: Matematikkens historie. Fagbokforlaget, 2001.
Harper, E.: Ghosts of Diophantus. Educational Studies in Mathematics, vol 18, 1987.
Onstad, T.: Fra Babel til Abel. Likningenes historie. NKS-forlaget, 1994.
Van der Waerden, B.L.: A History of Algebra. Springer-Verlag, 1985.
Michael, M. og Wehr, H.: A Brief History of Algebra.