Framveksten av den matematiske analyse

1. Innledning

Kaster vi et blikk omkring oss, ser vi gjerne ting som biler og motorer, mikrofoner og mikrobølgeovner, telefonlinjer og satellitt-TV. Mye av dette har de fleste av oss vokst opp med, og vi regner det som helt hverdagslig. Men alle disse store oppfinnelsene har faktisk sin bakgrunn i det vitenskapelige gjennombruddet som startet i Europa for omtrent 400 år siden. Ved hjelp av den vitenskapen som da ble grunnlagt har vi til nå klart å konstruere datamaskiner, telekommunikasjonssystemer og brakt 12 mennesker til månen tur/retur.

Av alle matematiske oppdagelser fra hele det forrige årtusen vil mange si at den matematiske analyse (engelsk: calcules) er den aller største faglige prestasjonen. Denne teorien ble tidligere kaldt den "høyere matematikk" og er fortsatt et av ingeniørenes viktigste teoretiske verktøy. Oppdagelsen skjedde i siste halvdel av 1600-tallet og ble gjort av de to store matematikerne Isaac Newton og Gottfrid Wilhelm Leibniz, uavhengig av hverandre.

Den matematiske analyse studerer ulike fenomeners forandringsprosesser eller dynamikk. Dette kan være alt fra forandring i form av bevegelse i fysikken, til vekst i biologien, eller kostnader i økonomien. Slike størrelser beskriver vi ved hjelp av matematiske funksjoner. I tillegg innfører vi to viktige begreper. For det første den deriverte funksjonen som beskriver hvor raskt endringen skjer hvert øyeblikk, og for det andre den integrerte funksjon som beskriver den akkumulerte forandring. Derivasjon er et lokalt fenomen, mens integrasjon er et mer globalt begrep. De som har tatt fordypning i matematikk i gymnasiet eller videregående skole har jobbet mye med detaljene i denne matematiske teorien. Hovedresultatet er at derivasjon og integrasjon er motsatte regneoperasjoner slik som pluss og minus er det. Den matematiske analyse inngår i dag som en vesentlig del i mange grener av matematikken, og i vitenskaper som fysikk, biologi, statistikk og sosialøkonomi. Analysen er både en stor og begrepsmessig teori og et sett med praktiske beregningsregler, noe som gjør teorien lettere å anvende enn det ellers ville ha gjort. I dag finnes mange av de praktiske verktøyene tilgjengelig på en lommeregner.

Integral- og differensialregningen har vokst fram over en lengre tidsperiode -spesielt på 1600-tallet - og har blitt sammenliknet med et tre med røtter i både geometri, astronomi, fysikk og algebra. Utviklingen skjedde ved bruk av et intuitivt begrep om infinitesimaler, eller uendelig små tall. Derav navnet infinitesimalregning. Disse infinitesimalene klarte man hverken på 17- eller 1800tallet å få til "å høre hjemme" i en stringent matematisk teori, og begrepenes gyldighetsområde var uklar. Regneteknikker som virket godt i noen sammenhenger brøt fullstendig sammen når de ble anvendt på andre typer problemer. På midten av 1800-tallet ble grenseverdibegrepet (limes) i stedet innført som grunnleggende begrep i analysen, og først i 1960 lyktes det også å innføre infinitesimalene i en stringent matematisk teori (teorien for de hyperreelle tall, R*). Den siste framstillingen har ikke slått igjennom i matematikkundervisningen og går derfor under navnet Non-Standard analyse.

Et problem som oppstår når vi nå skal gå tilbake i historien, er at den notasjon de gamle matematikere brukte, ofte er svært fremmed for oss i dag. Her har jeg i en viss utstrekning valgt å "oversette" deres resonnementer til mer moderne matematisk notasjon. Enhver oversettelse må nødvendigvis bli en tolkning og er en vanskelig balansegang. Men det var nødvendig for å gjøre framstillingen lettest mulig lesbar.
 
 

2. Forspillet: grekernes bidrag.

Når vi i dag underviser matematisk analyse i den videregående skole (gymnaset), begynner vi vanligvis med derivasjon og lar integrasjon komme senere. Dette er en god og riktig framgangsmåte, da derivasjon er lettere enn integrasjon. Men historisk sett startet utviklingen med integrasjon og beregningen av arealer og volumer.

Arealbegrepet spiller en fundamental rolle i framveksten av grekernes geometriske modell for integralregningen. Det oppsto temmelig sikkert i forbindelse med empiriske metoder i landmålingen. Grekerne hadde ikke et tilfredsstillende tallbegrep, noe som kom av mangelen på irrasjonale tall. De greske matematikere ekskluderte også det uendelige fra sin matematiske tenkning. Grunnen til dette var åpenbart at intuisjonen aldri ga dem noe klart bilde av noe uendelig, og at det ikke hadde noe utgangspunkt og begrunnelse. Ut fra sin filosofi og Zenons paradokser forkastet grekerne også infinitesimalene, eller "de indivisible" (udelelige) som de kalte dem. Den utfyllingsmetode de utviklet reduserte i stedet problemene til formell logikk (såkalt dobbelt reduksjon ad absurdum). Metoden hadde den ulempen at for å brukes, måtte resultatet være kjent på forhånd. Resultatet måtte da finnes ved en annen metode.

Av de greske matematikere er det to som trer i forgrunnen, nemlig Eudoxos (408-355 f.Kr.) og Arkimedes (287-212 f.Kr.). Eudoxos arbeidet innen astronomi, geometri, jus og legevitenskap. Det var han som ga den første tilfredsstillende proporsjonslære for størrelser. Etter oppdagelsen av inkommensurable størrelser, fant grekerne det umulig å knytte tall til størrelser som diagonalen i et kvadrat, arealet av en sirkel, volumet av ei kjegle. Å sammenlikne forholdet mellom to volumer med forholdet mellom to arealer eller forholdet mellom to andre størrelser, var Eudoxos' måte å unngå innføring av irrasjonale tall. Alle Eudoxos' arbeider er tapt, men vi kjenner hans utfyllingsmetode gjennom Euklids store lærebok "Elementer" (ca. 330 f.Kr.).

Arkimedes anvendte utfyllingsmetoden på mange nye problemer og beregnet bl.a. en tilnærmingsverdi for p ved å bruke omskrevne og innskrevne mangekanter i sirkelen. Han bestemmer også formelen for kulas overflate, arealberegninger for parabelen og volumer av en del omdreiningslegemer.

Er så den greske utfyllingsmetoden integralregning? Ja, i en viss forstand. Den inneholder integralregningens geometriske betraktningsmåte, men i praktisk problemløsning er moderne integrasjon utfyllingsmetoden overlegen. Muligheten for å danne generelle integrasjonsregler dukket ikke opp hos grekerne.

Hvordan oppdaget så grekerne de setningene de skulle bevise? l 1906 fant den danske historiker og spesialist i gresk matematikk, J. L. Heiberg, et til da tapt brev fra Arkimedes til en annen matematiker. Brevet gir oss deler av svaret på dette spørsmål. Det bærer overskriften "Metoden for mekaniske teoremer" og beskriver en ikke-stringent, men nyttig metode til å oppdage konkrete integrasjonsresultater. Metoden kan best betegnes som en mekanisk infinitesimalmetode. Elementer fra to ulike figurer veies mot hverandre som på en toarmet vektstang. Men Arkimedes' matematiske samvittighet kunne ikke akseptere denne metoden som noe bevis.

Med Eudoxos og Arkimedes var integralregningen født. Man skulle vente at de framskritt som de hadde gjort, ville danne skole og sette i gang en utvikling. Men kort tid etter Arkimedes gikk den greske analyse tilbake. Den matematiske analyse ble født med Eudoxos og Arkimedes, men gikk også i graven med dem, helt til den fikk liv igjen i Europa på 15-1600-tallet.

Grekerne hadde en udelt tillit til menneskets fornuft og mente at tanken hadde den egenskap at den kunne gjenkjenne sannhet. Sannhet var noe som kom fra menneskets intellekt. Geometrien var en del av denne sannhet. Ved å utforske naturen søkte ikke grekerne å beherske naturen, men heller å tilfredsstille sin tanke. De likte å tenke, og naturen ga dem en del store utfordringer på dette området. Grekerne hadde et klart skille mellom teori og anvendelse. I deres verden var matematikken nærmere forbundet med filosofien enn med den praktiske anvendelse. Riktignok kunne menn som Arkimedes, Hippark, Heron og Ptolemeos arbeide med astronomi, mekanikk og optikk. Men utgangspunktet for dette var mer filosofisk enn empirisk. Unionen mellom filosofi og matematikk illustreres godt ved at det over døren til Platons skole sto skrevet: "La ingen ukjent med geometrien stige inn her". Og Platon var en intellektuell aristokrat "purer than the purest of pure mathematicians". Aristoteles samlet all den greske naturfilosofi i en helhet, og ble Vestens første og største systematiker med en enorm innflytelse helt fram til slutten av middelalderen.

Til forskjell fra de fleste andre greske filosofer og vitenskapsmenn, så ikke Arkimedes nedverdigende på eksperimenter. Han grunnla naturvitenskaper som statikk og hydrostatikk. Dessuten hadde han i krigstider en viss interesse for militære våpen. Men til tross for dette, var Arkimedes i sitt sinn temmelig uengasjert i sitt forhold til anvendt vitenskap. Han la liten vekt på sine mekaniske oppfinnelser sammenliknet med det han kom fram til i sin tenkning. Selv når han arbeidet med vektstenger og andre enkle mekanismer, la han større vekt på generelle prinsipper enn på praktiske anvendelser. Til tross for denne begrensningen i sin tenkning, ble grekerne med sin demonstrasjon av fornuftens potensial og muligheter en av hovedkildene for hele vår vestlige sivilisasjon.
 
 

3. Startfasen: Kepler og Cavalieri

Johannes Kepler (1571-1630) ble en av pionerene for den nye naturvitenskapen. Han var blant de første matematikere som løsnet på grekernes strenge krav, og i stedet innførte en fri bruk av infinitesimaler i bestemmelsen av arealer og volumer. Kepler ble født i Weil der Stadt, en liten by vest for Stuttgart. Han var 13 år da han kom inn på den evangeliske klosterskolen i Adelberg. To år senere ble han overflyttet til en annen klosterskole hvor han skulle bli til han var moden for universitetet. Teologi hadde en bred plass i skolene, men også matematikk og astronomi hørte med til fagene. Atten år gammel begynte Kepler ved universitetet i Tübingen hvor han noen år senere tok magistergraden med glans. I 1594 ble han så kalt til lærer i matematikk ved det protestantiske gymnaset i Graz. Senere gikk det slag i slag for Kepler, og i 1601 ble han utnevnt i Praha til keiserlige hoffastronom og matematiker.

I sitt 59 årige liv ga Kepler ut et titalls større vitenskapelige arbeider. På 14- og 1500- tallet hadde det pågått en dyp forandring i den filosofiske og vitenskapelige tenkning i Europa. Aristoteles og hans regjerende filosofiske system var på vei ned av tronen. Vitenskapsmennene begynte nå på en ny måte å se på virkeligheten og de fakta som kunne leses ut av den. Her var det Kepler kom til å yte et vesentlig bidrag både til astronomien, optikken og den matematiske analyse. Han er mest kjent for sine tre lover for planetenes bevegelse rundt sola. Disse ble funnet som resultat av data samlet av den danske astronomen Tycho Brahe etter omtrent 22 års intense beregninger (uten hjelp av regnemaskiner!) og var de første naturlover i den moderne betydning av ordet. Med disse lovene var han med på å bygge broen over fra det gamle syn på universet som et uforanderlig kosmos, til det nye bildet av det dynamisk system underlagt matematiske lover. Keplers første lov publisert i verket "Ny astronomi" (1609), viser som et eksempel hvordan de nye lovene lød:

"Planetene beveger seg rundt sola i ellipsebaner med sola i det ene brennpunktet."

Keplers matematiske hovedverk er "Stereometria" (rommål, 1615). En kuriositet hører med til forhistorien. På grunn av urolige tider i Praha, ga keiseren i 1612 Kepler tillatelse til å flytte til den rolige byen Linz i Østerrike. Det året var det en uvanlig rik vinhøst i landet, noe som ga støtet til Keplers mest betydningsfulle rent matematiske arbeide. Kepler fant nemlig at vinhandlerne i Østerrike brukte bestemte vintønner og en spesiell metode til å finne volumet av disse. De stakk bare en målestav på skrå ned i tønna og leste av volumet på en skala (se fig. 3). Kunne noe av dette rettferdiggjøres matematisk?

Før Kepler tar fatt på tønnene, behandler han noen enklere volumer. Det legemet som framkommer ved å rotere en sirkel om en linje BC i rommet (som ikke skjærer sirkelen), kalles en ring eller torus. Se figuren over. I setning 18 behandler Kepler volumet av en slik ring:

Setning.
Enhver ring med sirkulært eller elliptisk tverrsnitt, har samme volum som en sylinder med høyde lik lengden av den sirkelbue som senteret til den roterte figur beskriver, og med grunnflate lik tverrsnittet av ringen.

Dette teoremet er ekvivalent med et spesialtilfelle av et klassisk teorem etter Pappus, senere kalt Guldins regel.

Men Kepler tar også for seg til da ukjente omdreiningslegemer. Roteres sirkelen om en linje som skjærer bort en del av den, beskriver sirkeldelen et legeme som Kepler karakteristisk nok kaller "et eple" eller "en sitron", avhengig av hvor mye linjen skjærer bort av sirkelen.

Han stiller også opp og løser flere maksimums/minimumsproblemer. Videre returnerer Kepler til problemet med vintønnene. De østerrikske tønnene var alle pr. definisjon bygget slik at sidekanten AB = rÖ 2 (se fig. 3, og husk at lengden rÖ 2 er lett å konstruere for tønnesnekkerne som diagonalen i et kvadrat med sidekant r). I det spesialtilfellet hvor den østerrikske tønnen er en sylinder, kalles denne en østerriksk sylinder. At vinhandlernes målemetode ikke kunne være nøyaktig for de østerrikske tønnene, følger av at "midten" på en tønne kan gjøres bred uten at volumet øker tilsvarende. Kepler tok derfor i stedet for seg de østerrikske sylindere, og i praksis var tønnene omtrent sylinderformet. For en østerriksk sylinder vil altså AB’=rÖ 2 . Det han viser er

Setning.
Av alle rette sylindere med fast lengde på målestaven B’C, har den østerrikske størst volum.

Figuren viser snitt gjennom en østerriksk tønne sett fra siden. Målestaven S ble stukket inn gjennom et egnet hull ved B.

Kaller vi høyden i sylinderen 2h, blir AB’=h, og det skal vises at h=rÖ 2 gir maksimalt volum. I sin løsning av dette problemet satte Kepler opp tabeller over volumet når h avvek fra rÖ 2 med små verdier ±D x, ± 2D x, osv. Alle disse volumene ble mindre enn når h=rÖ 2. Han bruker betegnelser som "inkrement" og "dekrement" nær maksimumpunktet, og merker seg også at når volumet nærmer seg maksimum, endrer det seg mindre og mindre selv om inkrementet er fast.

Som konklusjon skriver Kepler: "Tønnesnekkerne har med sine gode og uten tvil geometriske anlegg gitt tønnene akkurat den form som for samme lengde avlest av målerne sikret dem det størst mulige volum. Da variasjonene er umerkelige i nærheten av maksimum, vil tilfeldige små avvikelser ikke utøve noen nevneverdig innflytelse på volumet. Den spesielle målingen er følgelig tilstrekkelig nøyaktig".

Med moderne regnemetoder er det lett å bekrefte Keplers resultat. Setter vi lengden på målestaven B’C =1, blir volumet V

V= p r² × 2h (1)

4 r² = 1- h² (2)

V(h) = p /2 (h-h³)

V’(h) = p /2 (1-h²)

Setter vi dette inn i formel (2), finner vi r

r = 1/Ö6

h= rÖ2 qed.

Stereometria ble lest av mange, og Kepler utga den også i en tysk oversettelse. Dette fikk stor betydning for dannelsen av den tyske matematiske terminologi. Keplers hovedbetydning for framveksten av integral- og differensialregningen ligger i at han frambrakte nye problemer og problemområder, selv om han ikke alltid maktet å trenge igjennom alt og gi matematisk eksakte løsningsmetoder. I sin store matematikkhistorie sier M. Cantor (med litt overdrivelse) at "Stereometria" er "kilden for alle senere arealberegninger" (Cantor, bind II, s. 823).
 

Tyve år etter utgivelsen av "Stereometria" kom det i Italia ut et arbeid som snart overgikk Keplers bok i popularitet. Bonaventura Cavalieris bok "Geometria indivisibilibus" (1635) ble et av de mest innflytelsesrike verk fra denne perioden, og mange har med en viss rett hevdet at den nye analysen fra da av var begynt. Bokas fulle tittel var "Videreutvikling av geometrien ved en til nå ukjent metode: de kontinuerlige indivisibler".

Cavalieri (1598-1647) hadde møtt matematikken gjennom undervisningen i munkeordenen hvor han var medlem. Han gjorde slik framgang at læreren introduserte han for den store naturforskeren Galilei, og senere betraktet Cavalieri seg alltid som Galileis elev. I 1629 ble han ansatt som professor i Bologna, samtidig som han ble leder for sin munkeorden i byen.

Cavalieris arbeider er ordrike og ikke helt klare i framstillingen. M. Cantor nevner et ønske om at Cavalieri hadde fortjent "Dunkelhetsprisen" hvis en slik hadde eksistert (Cantor, bind II, s. 833).

Det grunnleggende begrep for Cavalieri er begrepet infinitesimal, eller indivisibel som han kaller det. Indivisibel betyr elementer av en gitt dimensjon som ved sin bevegelse genererer figurer av en høyere dimensjon. Slik kan et punkt generere en linje, en linje som parallellforskyves generere en flate og en flate generere et legeme. Cavaliero forsto at antallet indivisible som måtte til for å generere f.eks. et volum ville bli ubestemmelig stort, men han filosoferte ikke videre på dette. Han var mest opptatt av det som fungerte i praksis.

Cavalieri kom fram til reslutater som trolig var de første i integralregningen som peker fram mot muligheten av generelle algebraiske regneregler. Når Cavalieri summerte sine indivisibler, brukte han ofte uttrykket "omnes lineae (o.l.)"=alle linjer. Forkortelsen o.l. var hans integrasjonssymbol. Leibniz brukte i begynnelsen også samme notasjon.
 
 

4. De første skritt: Fermat og Barrow

Mot midten av 1600-tallet ble integral- og differensialregningens problemer behandlet av flere. Et nytt hjelpemiddel som nå ble tatt i bruk var den analytiske geometri, eller koordinatgeometrien. Denne var utviklet av René Descartes (1596-1650) og Pierre Fermat (1601-1665). Den sentrale idé i analytisk geometri var forbindelsen mellom kurver/flater og algebraiske likninger. Algebraen var et bedre språk å formulere og løse problemene i enn geometrien.

De fleste nye matematiske metoder fra denne perioden ble skapt av Pierre Fermat. Han regnes som en av de største og første amatører i vitenskapens historie. Fermat dyrket nemlig matematikken som sin hobby, og oppdaget ikke sine matematiske evner før han var omtrent 30 år gammel. Av yrke var han jurist og hadde stilling som konsulent for det lokale parlament i Toulouse i Sør-Frankrike. Her levde han sitt stille liv og besøkte sjelden Paris. Alt sitt arbeide utførte han med verdighet og flid. Fermat var en stund medlem av "Academie Mersenne" i Paris. Leder for denne gruppen var Fader Mersenne, og Fermat hadde brevveksling med han fra 1636. De hadde møter en gang i uken. Blant medlemmene var Desargues, Roberval og Blaise Pascals far (som tidlig tok med sønnen).

Om Fermat var jurist av yrke, så var han matematiker av lidenskap. Mange matematikere på hans tid så sin matematikk først og fremst som et instrument til bruk for naturvitenskapelig forskning. Fermat derimot var sterkest opptatt av den rene matematikk og ytet bidrag til tallteori så vel som analyse. Han arbeidet med matematikken på fritiden og gjorde det av ren kjærlighet til den. Hans spesielle forhold til matematikken gjenspeiles godt i et brev til Mersenne:

"Jeg vil dele mine resultater med deg når du måtte ønske det, og jeg vil gjøre det uten ambisjoner på egne vegne. Det er jeg frigjort fra og er fjernere for meg enn noe annet menneske i denne verden."

Fermats arbeide med kurver startet med hans studier av den greske geometri. Det var en populær beskjeftigelse på hans tid å restaurere de gamle verker etter grekerne. Etter hvert tok Fermat også fatt på et generelt og metodisk studium av kurver, noe grekerne ikke hadde klart å få til. Innen integralregningen fant Fermat en ny metode til å finne integralet av xⁿ. Metoden besto i å omskrive rektangler med arealer som leddene i en geometrisk tallfølge. Når antall rektangler gikk mot uendelig, fikk han uttrykt arealet under kurven som summen av en uendelig geometrisk rekke.

Men Fermat er mer kjent for sin metode til å finne maksimum og minimum. Det spesielle med denne metoden er at det gjøres bruk av en tilvekst, E, av en størrelse. Metoden kunne bl.a. brukes til å bestemme tangenten til en kurve. Grekernes tangentdefinisjon hadde i lang tid vært rådende i matematikken. Det var statisk og basert på egenskapen at tangenten har kun ett punkt felles med kurven. Den nye tangentdefinisjonen som nå kom med Fermat var dynamisk og basert på sekantens grensestilling i tangeringspunktet.

Descartes hadde også utgitt en egen tangentmetode i "La géométrie" (1637). Hans metode var rent algebraisk, og bygde ikke på noe grensebegrep. Dessuten var den kun anvendbar på kurver av enkel polynomform. Fermat leste Descartes og fikk lyst til å bringe videre sin egen tangentmetode som han hadde kjent til fra 1629. Dette ble gjort i skrivet "Metoden til å finne maksimum og minimum". Manuset er fra 1637, men ble først trykt i 1679. I mellomtiden sirkulerte det i håndskrifter.

Fermat tar her utgangspunkt i maksimums og minimumsbetraktninger noe som kan føres tilbake til Kepler. Fermats metode spiller imidlertid en spesiell rolle i integral- og differensialregningens historie, da det trolig er første gang det gjøres bruk av en tilvekst av en størrelse:

La PT være tangenten til kurven y =f (x) i punktet P, og la P₁ ligge på kurven i nærheten av P. Q og Q₁ er projeksjonene av P og P₁ ned på x-aksen. Nå skal vi finne lengden TQ (subtangenten) som gjør at T kan finnes og tangenten TP trekkes. La inkrementet QQ₁ være lik E. Trekanten TQP er formlik med PRT₁.

Dermed:

TQ : E = PQ : T₁R

T₁R P₁R

TQ : E = PQ : (P₁Q₁ - QP)

TQ : E = f (x) : (f (x + E)-f(x))

TQ = f (x) × E/(f (x+ E)-f (x))

Det er lett å gjenkjenne uttrykket når vi omformer det til

f(x) / TQ = [(f(x + E)-f (x)) / E]_E=0

En annen tangentmetode var også utviklet på denne tiden. Den bygde på hastighetsparallellogrammet og var utviklet av Roberval og Torricelli uavhengig av hverandre. Begge fant sine metoder på slutten av 1630-tallet, og Torricelli publiserte i 1644. Alle kurver lar seg imidlertid ikke beskrive av to slike matematisk uavhengige bevegelser.

Ved siden av Fermat var Isaac Barrow (1630-1677) den som kom nærmest oppdagelsen av den nye analysen, før gjennombruddet kom med Newton og Leibniz. Barrow ble utdannet ved Trinity College i Cambridge. Etter en tur omkring i Europa, kom han tilbake til England og foreleste i astronomi, geometri og gresk. I 1663 ble han så professor i matematikk ved universitetet i Cambridge. Denne stillingen overlot han til sin elev Isaac Newton i 1669. Barrow var også en berømt teolog.

I 1664 begynte Barrow en forelesningsrekke av generell og filosofisk karakter om "The usefulnesse of Mathematical Learning" der rom, tid, bevegelse, geometri og optikk ble tatt opp grundig. Newton gikk temmelig sikkert på disse. I 1670 utga Barrow 13 av forelesningene i "Lectiones geometricae". Boken var en oppsamling av nesten all kjent kunnskap om integral- og differensialregning. Den inneholder metoder til å finne tangenter, setninger om derivering av produkt og kvotient av to funksjoner, derivering av potenser, bestemmelse av buelengde, variabelsubstitusjon i et bestemt integral og derivering av implisitte funksjoner. Alt dette hadde en geometrisk form.

I sin 10. forelesning sier han så: "Jeg tar med enda et par teoremer som er av stor generell karakter og ikke er lette å komme utenom". Det teorem som følger er analysens fundamentalteorem (sammenhengen mellom integrasjon og derivasjon) i geometrisk form med bevis.

Som vi nå har vist, er analysens utvikling mer en kontinuerlig utvikling enn noe som skjer "over natta". På spørsmålet om Fermat og Barrow sto innenfor eller utenfor oppdagelsen av den nye analysen, må vi svare "utenfor". Hva var det så som manglet? Svaret her er at det behøvdes større generalitet i metodene og en bedre notasjon. Arbeidet som ble gjort i integral- og differensialregningen de første 2/3 av 1600-tallet hadde tapt seg selv av syne i detaljer. Det var utviklet en mengde begreper, metoder og teknikker. Men feltet var uoversiktlig og modent for en "begrepssanering" og en avklaring av hva som var kjerneidéene og rekkevidden av disse.
 
 

5. Gjennombruddet: Newton og Leibniz

To store matematikere trer så fram på arenaen og gjør den store oppdagelsen: Isaac Newton (1642-1727) og Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716).

Newton (1642-1727) regnes som kjent blant de aller største i vitenskapshistorien. Han står som en av de drivende krefter som har formet hele vår naturoppfatning. I sin samtid oppnådde han en slik autoritet og innflytelse at han utfordret og beseiret grekernes Aristoteles. Ettertiden har ofte utropt han som det største vitenskapsmann som noen gang har levd.

I kontrast til dette står Newtons eget utsagn mot slutten av livet: "Jeg vet ikke hva verden synes om meg, men for meg selv har jeg bare vært som en lekende gutt på strandkanten. Der gledet jeg meg over av og til å finne glattere steiner og penere skjell enn vanlig, mens hele sannhetens hav lå uoppdaget framfor meg."

Da Isaac kom til verden, var moren allerede enke. Den lille gutten ble født for tidlig og var så liten og spe, at han kunne fått plass i en litersmugge. Han vokste opp hos sin bestemor. Allerede som ung la han for dagen en stor interesse for å gjøre egne eksperimenter.

Nitten år gammel fikk han begynne ved Trinity College i Cambridge, takket være en onkel som var prest. Fire år senere avla han sin endelige eksamen.

Allerede i studietiden ser Newton ut til å ha nådd fram til grenseområdet for sin tids naturvitenskapelige og matematiske viten. Fra å lese matematikk gikk Newton så i gang med å skape matematikk. 1 1665 ble Cambridge rammet av en stor pest, og universitetet måtte holde stengt et par år. Newton holdt seg hjemme i Woolsthorpe denne tiden, og der arbeidet han enormt. I tur og orden gjorde han alle sine tre store oppdagelser: Lysets brytning i ulike farger, integral- og differensialregningen og den generelle gravitasjonsteori.

Newton kom så tilbake til Cambridge i 1667, men holdt stort sett oppdagelsene sine for seg selv og publiserte lite. Dette hadde sammenheng med at Newton var redd for å få for mange kritikere på nakken. Men universitetet var klar over Newtons begavelse, og i 1669 overtok han professoratet i matematikk.

Newton la i sin naturvitenskap vekt på to ting: matematikk og eksperimenter. Strukturen som var nedlagt i universet gjorde at det var mulig å formulere eksakt kunnskap om det. Matematikken var det språk som best kunne uttrykke denne nøyaktige orden. Newtons håp var stadig at alle fenomener i naturen skulle kunne beskrives ved hjelp av matematikken. På den andre siden insisterte Newton også på at et eksperimentelt grunnlag og en empirisk verifisering måtte ledsage ethvert skritt i forskningsprosessen) Den matematisk formulerte teori måtte alltid bygges på eksperimentell erfaring. Slik ble Newton det felles møtested for de to viktige strømninger i naturvitenskapen: den empirisk eksperimentelle og den deduktivt matematiske. Naturvitenskap var for Newton den eksakte matematiske formulering av fenomenene i den fysiske verden.

Et sentralt begrep er som vi vet "stigningstallet" til en funksjon i et punkt, det vi ofte også kaller vekstraten til funksjonen ved et bestemt tidspunkt. Denne vekstraten vil kunne endre seg med tiden, og er altså også en funksjon. Den kalles den "deriverte" som betyr den avledede funksjon. Newton kalte den "fluxion", mens den opprinnelige funksjon gikk under navnet "fluent". En "fluent", y, er for Newton en kontinuerlig varierende størrelse. En partikkels bevegelse i tid og rom var det intuitive utgangspunktet som Newton brukte. Den hastigheten som y forandret seg med, kalte han y’s "fluxion" og skrev den med sin prikknotasjon: y .

Newton var skeptisk til infinitesimalene og ønsket etter hvert å unngå bruken av dem. Han er tydelig på jakt etter et grenseverdibegrep, for han peker på at en fluxion aldri betraktes alene, men alltid som et forhold mellom to fluxioner. Når Newton skal innføre et stigningstall i et punkt, bruker han ordene "primary ratio" (som vi skriver Dy/Dt) og "ultimate ratio" som han skrev med prikknotasjon (og som vi ville skrive dy/dt). Noen egentlig definisjon av det siste begrepet har han ikke, men påpeker at det er det bare er "the ultimate ratio" (det finale forhold) som eksisterer (dvs dy/dt) ikke de utlimate størrelser (altså dy og dt). Det motsatte ville jo medføre at alle småstykker var sammensatt av infinitesimaler.

Om "ultimate ratio" sier han også i en kort formulering:

"Og på samme måte med det ultimate forhold av de forsvinnende deler må du forstå, ikke forholdet før de forsvinner, og heller ikke etter, men forholdet mellom delene idet de forsvinner."

Newton tenker seg at x frambringes ved en jevn bevegelse med hastighet 1. I løpet av et "øyeblikk" (an instante), o, vil x være i x+o. På samme tid blir xⁿ til (x+o)ⁿ , og vi bruker binomialformelen:

(x+o)ⁿ = xⁿ + no x^n-1 + n(n-1)/2 o² x^n-2 + ….+ oⁿ

o : no x^n-1 + n(n-1)/2 o² x^n-2 + ….+ oⁿ = 1 : n x^n-1 + n(n-1)/2 o x^n-2 + …

Newton utleder mange derivasjonsformler, samt de generelle derivasjonsregler. Han finner også en rekke integraler, og har innsikt i den inverse natur av disse regneformene. Newton ser også på krumning og krumningssentra for algebraiske kurver. Dette er første gang annenderiverte (fluxions of fluxions) opptrer i matematikken.

Teorien om "The prime and ultimate ratio" er grunnleggende i hele Newtons oppbygning av analysen. Newton hevdet om sin framstilling at den var i harmoni med den klassiske geometri og unngikk infinitesimaler. I dag kan vi tolke Newtons begrep "ultimate ratio" som et viktig skritt i retning av det moderne grenseverdibegrep. Newtons "ultimate ratio" er imidlertid ikke et aritmetisk definert begrep, men et verbalt formulert begrep motivert av det fysiske bevegelsesbegrep. Newton maktet ikke å rive seg løs fra de geometriske forestillinger og formulere det aritmetiske og eksakte limesbegrep som vi i dag bruker:

lim       f(t + Dt) - f(t)
Dtà0   Dt

Årene 1684-86 ble blant de viktigste i naturvitenskapens historie. Newton var da endelig blitt overtalt av venner til å utgi sine astronomiske og fysiske oppdagelser. Han arbeidet nesten dag og natt i to år med dette, og verket "Naturvitenskapens matematiske prinsipper" (kalt "Principia") ble realisert. Dette mesterverket fikk straks sterk innflytelse i hele Europa. Framstillingen er elegant. Den er preget av en enorm systematikk og en imponerende dybde og bredde i de problemer som tas opp. Utgangspunktet er lovene som gjelder for legemers bevegelse, og ut fra dette forklarer han en hel rekke fenomener (bl.a. flo og fjære) som var kjent for jorden, månen og resten av vårt solsystem. Verket var en syntese av Keplers og Galileis teorier og var den første og største triumf for den nye matematiske analyse som Newton hadde oppdaget. Newton markerte innledningen til en helt ny epoke i naturvitenskapen. Men ser vi nøyere etter, finner vi at den matematiske analyse spiller en helt underordnet rolle i Principia. Alle de viktige utledningene er gjort ved å kombinere klassiske geometriske og koordinatgeometriske resonnementer med Newtons intuitive grensebegrep. På sine eldre dager fortalte Newton at ideene og deler av utledningene først ble gjort ved hjelp av hans nye matematiske analyse, og senere skrevet om til geometri for å bli forstått og godtatt. Men studier som senere er gjort av Newtons forarbeider til Principia, viser at han da valgte å jobbe rent geometrisk. Newton behersket alle deler av sin tids matematikk.

I 1696 flyttet så Newton til London etter 30 års intens virke ved Cambridge. Han utga flere nye bøker, men det meste av siste del av sitt liv brukte han til studier i teologi og historie. Newton hadde også brukt mye tid på dette i første del av sitt liv. Selv om hans skapende periode innen matematikken var slutt, så hadde han sine matematiske evner i behold og løste flere matematiske problemer som andre matematikere i Europa hadde gitt opp å løse. Fra 1703 til sin død var han også president i det engelske vitenskapsakademi, "The Royal Society".
 

Selv om G.W. Leibniz' vei til analysen er ganske forskjellig fra Newtons, så rager Leibniz like høyt som bidragsyter til skapelsen av differensial- og integralregningen. Leibniz arbeidet også på mang andre fagfelter, og hans aktiviteter hadde en enorm spennvidde, og ha ga viktige bidrag til filosofi, logikk, geologi, mekanikk, optikk, hydrostatikk og matematikk. Han var kort sagt et universalgeni. Leibniz var også en produktiv skribent.

Leibniz begynte sine studier ved universitetet i Leipzig da han var 15 år gammel. Han studerte jus, logikk, filosofi og teologi. I 1666 skrev han sin doktorgrad "De arte combinatoria". Her la han fram sin sentrale idé om å utvikle et universelt symbolspråk å tenke i, en slags tenkningens algebra. I dette språket ville alle feil kunne avsløres som en slags beregningsfeil, og alle filosofiske debatter ville gå mot sin avslutning. For matematikken ble dette nyttig ved at det førte Leibniz fram til flere store oppdagelser av matematisk notasjon. Han står som en av de store oppfinnere av matematiske symboler.

Leibniz kom også over noen matematiske arbeider i denne perioden av sitt liv. Bl.a. husker han å ha sett Cavalieris "Geometria indivisibilibus". Men hans mangfoldige aktivitetstrang må ha gjort det vanskelig for han å få tid til mer enn en overfladisk gjennomlesning. Det meste av den matematikken Leibniz kunne, hadde han lært seg selv. Han kritiserte universitetene for bare å være formidlere av lærdom, uten å gi selvstendig dømmekraft. Leibniz ville at kunnskapen skulle anvendes i fysikk, kjemi, geografi, botanikk, zoologi og anatomi. Etter avlagt doktorgrad ble Leibniz tilbudt et professorat, men han avslo.

I årene 1670 og 71 skrev Leibniz sine første arbeider i mekanikk og laget sin regnemaskin. Han engasjerte seg også i diplomatyrket, og i årene 1672-76 bodde han i Paris som utsending for kurfyrsten av Mainz. I Paris møtte han mange framstående mennesker, deriblant Christian Huygens (1629-1695) som da var den ledende naturviter på kontinentet. Huygens ga Leibniz impulsen til å ta fatt på matematikkstudier. Før 1672 hadde han ikke vært i særlig berøring med dette faget. I perioden 1672-76 gjorde Leibniz også to reiser til London.

Der møtte han flere matematikere og fysikere, og var også til stede på noen møter i Royal Society. Leibniz ga seg så i kast med de matematiske arbeider av Descartes, Pascal, Fermat og Barrow. Parallelt med dette utviklet han også egne metoder, og årene 1672-76 ble hans mest kreative periode i matematikken. I løpet av disse årene oppdaget han sin form av differensial- og integralregningen.

Leibniz publiserte de fleste av sine arbeider i differensial- og integralregning i årene 1684-92. Til dette brukte han tidsskriftet "Acta eruditorum" som han og Otto Mencke hadde startet i 1682. Men mange av Leibniz' ideer er bare å finne i de hundrevis av sider med notater som han hadde gjort siden 1673. Da han i 1714 skrev "Historia et origo calculi differentialis" (Differensialregningens historie og opprinnelse), understreket han at det spesielt var to spor som førte han fram til den nye analysen: tallfølger og geometriske problemer.

I dette tilfellet er vi i den heldige situasjonen at selve originalnotatene der Leibniz oppfinner sin symbolbruk, er bevart. Den 29.oktober 1675 forandret Leibniz' arbeider karakter, og notasjon og symbolbruk ble satt i fokus. Dette skjedde i det berømte manuskriptet hvor han på sin jakt etter en effektiv representasjon av de grunnleggende operasjoner som inngår i infinitesimalregningen, skapte differensial- og integralregningens notasjon, slik den brukes den dag i dag. I utgangspunktet brukte Leibniz Cavalieris forkortelse "omnes lineae" (omn.) som forkortelse for sine integraler. Leibniz bemerker her at han har oppdaget følgende lov:

"... hvis omn. settes foran et tall, en brøk, eller noe infinitesimalt, så framkommer en rett linje. Hvis omn. settes foran en linje fås en flate, og hvis foran en flate så fås et legeme, etc. i det uendelige. Det vil være nyttig å skriveò i stedet for omn., slik at

ò l = omn.l eller summen av l-ene."

Leibniz ga seg straks i gang med å oversette sine gamle formrlrt til det nye språket. Fra før hadde han kommet fram til en lang rekke resultater om summer. Fremgangsmåten han da hadde brukt var – uten å vite det - den samme som Arkimedes hadde brukt i sin oppdagelsesmetode (se avsnitt 2). En av formlene var slik:

omn. (x l ) = x × (omn. l) – omn.(omn. l)

ò x l = xòl - ò òl

ò x² = x ò x - ò ò x = x × x²/2 - ò x²/2 , dvs.

ò x² = x³/3

"Gitt l og dens relasjon til x, bestem ò l. Dette må oppnås ved den omvendte beregning, dvs. la oss anta at ò l = ya [a konstant]. La l = ya/d, så vil d forminske dimensjonen, liksom ò forhøyer den [altså settes d i nevneren av dimensjonsgrunner]. ò betyr en sum og d en differens. For en gitt y kan vi alltid bestemme y/d eller l, dvs. differensen av y-ene. Altså kan en likning overføres til en annen som ò c ò l² = (c ò l³)/3a³ kan overføres til c ò l² = (c ò l³)/3a³d . "

"Alle disse teoremer er også sanne for følger hvor differansen mellom leddene forholder seg til leddene med et forhold som er mindre enn enhver valgt størrelse."

Leibniz understreker at dette er hans brudd med Cavalieris metode med indivisibler. Ifølge Leibniz så beregnet nemlig Cavalieri arealer som summen av en samling linjer (omn. l), mens Leibniz nå beregner arealer som en sum av arealdifferensialer. Dette får han fram ved å bruke notasjonen ò ydx.

Med denne effektive notasjon i bruk, går utviklingen slag i slag for Leibniz. I november 1676 viste han at

dxⁿ = n x^n-1 , n ÎQ ; og

ò xⁿ = (xⁿ⁺¹)/(n+1), n Î Q\{-l}

I juli 1677 finner han de riktige formler for differensialet av produkt og kvotient. Først hadde han ment at

d(x × y) = (dx) × (dy), men dette førte til motsigelser.

d(x × y)=(x+dx) × (y+dy) - xy = xdy + ydx + dydx

d(x × y) = xdy + ydx

d(y/x) = (xdy - ydx)/x²

dy = 0

ddy = 0

Det spørsmål som da naturlig reiser seg er å få avklart og definert differnsialenes natur og eksistens. De fleste av Leibniz' etterfølgere godtok uten videre eksistense av infinitesimale størrelser og benyttet disse flittig for å bevise sine resultater. For å summere opp kan vi si at Leibniz mente at infinitesimalregningen rettferdiggjorde seg ved sin praktiske anvendbarhet. Metodens "algoritmiske natur" og det at den var en god "modus operandi", var viktigere for Leibniz enn det ubesvarte spørsmål om infinitesimalenes egentlige natur og eksistens. Dette spørsmålet hadde da også en slik dybde at det først fikk en løsning nesten 300 år senere med den såkalte "Non-Standard analysen".

Leibniz var like mye filosof som matematiker, og hans bidrag til differensial- og integralregningen må forstås mot et slikt bakgrunnsteppe. Det kom som et av resultatene av hans jakt etter et universelt symbolspråk for bevegelse og forandring generelt. Alle forandringer måtte etter hans tankegang kunne tilbakeføres til forandringer i det uendelig små. Dette ga Leibniz hans filosofiske motiv for å bruke differensialene. Universet skulle beskrives ved lovmessigheter for forandringer i det uendelig små. Det fortelles at differensial- og integralregningens generalitet gjorde et sterkt inntrykk på Leibniz. Det bør vel også legges til at Leibniz' visjon aldri har slått til med en slik bredde som han foreslo. Men hans idé om å lage en algebra for logikken spilte en betydelig rolle for 1800-tallets matematiske utvikling, spesielt George Booles (1815-1864) symbolske logikk.

Fra 1676 til sin død bodde så Leibniz for det meste i Hanover. Der hadde han en stilling som hovedbibliotekar hos hertugen som i 1715 ble Englands konge under navnet Georg I. 1 1700 var Leibniz også med å grunnlegge Berlins vitenskapsakademi.
 

Med Newton og Leibniz var differensial- og integralregningen blitt etablert og anerkjent som matematiske disipliner. I 1696 ble den første lærebok i den nye analyse utgitt. Den var skrevet av Marquis de l'Hospital. Han var elev av Johann Bernoulli, og stort sett var det lærerens forelesningsnotater han utga i boken "Analyse des infiniment petits."

Men de nye metodene ble også utsatt for hard kritikk. Filosofen George Berkeley var Newtons hardeste kritiker. Han hevdet at Newtons teori om "prime and ultimate ratio" var like ubestemmelig som forholdet 0/0. Leibniz fikk sine hardeste angrep fra Bernard Nieuwentijt, borgermester i en by nær Amsterdam. Hollenderen innså gjerne at metoden hadde mange riktige anvendelser, men pekte på at den lett kunne føre til paradokser. En del av den kritikken som kom førte med tiden til konstruktive forsøk på å "reparere" Newtons og Leibniz' fundamenter og gjøre de matematisk stringente. Men det tok over 100 år før Newtons fundament var ferdigformatert og nærmere 300 år for Leibniz' vedkommende. Newtons fundament ble basert på grenseverdibegrepet (limes) der A. Cauchy (1789-1857), K. Weiresrass (1815-1897) og B. Rimann (1826-1866) ytet viktige bidrag. Mens Leibniz' fundament ble basert på infintitesimalbegrepet der G. L'Hospital (1661-1704) og A. Robinson (1918-1974) kom med de viktigste arbeidene.

Vi skal ikke ta opp til diskusjon den prioritetsstriden som oppsto mellom Newton og Leibniz - og deres tilhengere. Vi skal bare slå fast at den nesten allment aksepterte mening i dag, er at Leibniz oppdaget differensial- og integralregningen etter, men uavhengig av Newton. Det er også en betydelig forskjell mellom Newtons og Leibniz' vei fram til den nye analysen. Newton gikk primært ut fra det fysiske bevegelses- og hastighetsbegrepet, mens Leibniz begynte med studiet av tallfølger. Newton oppdaget differensial- og integralregningen først (Newton 1665-66, Leibniz 1673-76), men Leibniz publiserte den først (Leibniz 1684-86, Newton 1704-36).
 
 

6. Hovedfaktorene for framveksten

Selv om det var forhold av filosofisk og intellektuell karakter som spilte størst rolle for naturvitenskapens framvekst, så må vi heller, ikke glemme at det uten tvil også eksisterer viktige sosiale og økonomiske årsaker. Bare på et visst kulturelt nivå (skrivekunst, boktrykkerkunst, skoler osv.) er en vitenskapelig revolusjon mulig. De fleste kulturer gikk under før noen vitenskapelig revolusjon i det hele tatt kunne skje.

Men de forsøk som har vært gjort på å forklare den vitenskapelige revolusjon som resultat av samspillet mellom teknologiens krav og framskritt (hvor teknologien igjen er en funksjon av de sosiale behov), har aldri vært særlig overbevisende. For selv om denne sosiale og teknologiske bakgrunn er nødvendige forutsetninger for en vitenskapelig revolusjon, så er de langt fra tilstrekkelige forutsetninger.

Context of justification.

I min hovedoppgave i matematikk har jeg arbeidet spesielt med opprinnelsen til integral- og differensialregningen. I disse studiene har jeg kunnet påvise tre kreative faktorer som bidro til å etablere det nye fagfeltet. Med en kreativ faktor menes et forhold som beriker matematikken med fruktbare idéer og skaper faglig framgang.

Logisk tenkning er et uansett et nødvendig grunnlag for enhver matematisk virksomhet. Den første kreative faktor er altså logikken. Denne har vi som kjent arvet fra grekerne. Grekerne var opptatt med å komme fram til sannhet, og spesielt den platonske skole la vekt på at sannhet bare kunne nås ved matematiske abstraksjoner og resonnementer. Leibniz og hans "characteristica generalis" kan spesielt settes i forbindelse med den greske tenkning, men alle matematikere som var med å skape den nye analyse benyttet seg av gresk tankegods som en viktig del av sitt "mentale arbeidsredskap."

I den greske matematikk avspeiler dette seg i exhaustion-metoden og Euklids geometri.

Men en slik formal beskrivelse av matematikken er ikke fullstendig. Matematikerne må også oppdage hva de skal bevise. Denne prosessen er også en del av den samlede matematiske virksomhet, men den er ikke deduktiv.

Grekerne hadde imidlertid vært så konsekvente i sitt krav om eksakthet, at alle upresise ideer ble forkastet fra matematikken. De kunne fort ende i tankekors av typen "Zenons paradokser". Et resultat av dette var at uendelig små størrelser ble forkastet. Infinitesimalbetraktninger ikke ble benyttet. På 1600-tallet søkte imidlertid matematikerne etter nye metoder som kunne gi muligheter til å angripe de oppståtte problemer mer direkte. Av slike problemer som matematikerne sto ovenfor, var de fleste av fysisk og astronomisk natur (tangent, areal og volumproblemer). Disse problemene ga forslag og retning til matematiske metoder, og komplisert matematikk ble skapt for å mestre dem. Matematikken fikk støtet til en dynamisk måte å tenke på.

Context of discovery.

Men matematikerne innførte også begreper som ikke hadde noen bestemt fysisk betydning. Dette kan vi kalle den transcendente faktor og består altså av begreper som ligger utenfor erfaringens område. Et eksempel her er begrepet infinitesimal. Det dukker opp flere steder i historien, f.eks. hos en jødisk filosof, hos flere av middelalderens skolastikere, hos Leonardo da Vinci, Kepler osv. Leibniz' begrep infinitesimal hadde også sin bakgrunn i en transcendent idealisme. Begrepet uendelig ble også anvendt, og det å tenke i uendelige prosesser ble tillatt. Det har vært antydet at grekernes forkastning av det "aktuelt uendelige", spesielt slik Aristoteles uttrykte det, var en av de viktigste årsaker til at de ikke klarte å forene aritmetikk og geometri. Det dreide seg her om å innføre begreper som matematikerne så med sitt "åndelige øye". Denne dristighet i begrepsdannelsen har nok mye av sin forklaring i filosofi og religion, og har ført til at store deler av matematikken i vår tid har kunnet beskrives som "The Science of the Infinite", slik Hermann Weyl har uttrykt det.

Nye fagfelter i matematikken starter ofte på et intuitivt grunnlag. Etter denne intuitive fase, må det imidlertid følge en kritisk gjenomarbeidelse av fagfeltet hvor det hele gjøres eksakt og framstilles deduktivt. Formaliseringen fjerner alle vage forestillinger og lar bare symboler som representerer de abstrakte matematiske forhold stå igjen. En slik formalisering av teorien gir til gjengjeld avkall på å framstille forbindelsen mellom de inngående begreper og sanseerfaringer. Man glemmer at den aksiomatiske konstruksjon bygger på f.eks. et empirisk grunnlag. Forsøkene på å presse formalismen i matematikken til det ytterste, har ført til et studium hvor det ikke lenger er enighet om hva matematikk egentlig er. Her er det flere skoler blant matematikerne, og de to største har vært den formale (Hilbert o.a.) og den intuitive (Kronecker, Brouwder, H. Weyl).
 

Det vi altså har prøvd å gjøre i denne artikkelen er å beskrive det intuitive stadiet i utformingen av den matematiske analyse. På dette stadiet har vi sett at teoriene var ikke-stringente. Men det ser ut til at de fleste matematiske teorier må gjennom et slikt stadium før de kan gjøres stringente. Både Newton og Leibniz måtte overlate til sine etterfølgere å gjøre de nyutviklede teoriene stringente.

I analysens opprinnelseshistorie ser møtet mellom matematikk, fysikk, filosofi og religion ut til å være av avgjørende betydning for matematikken. Innen kulturhistorien anerkjennes nå også religionen som en nøkkel for å forstå hva som skjedde i 1600-tallets Europa. I disse vekselvirkningene stilles nye problemer og reises nye synspunkter. Senere i sin utvikling har analysen også stadig blitt utdypet og videreutviklet ved samspillet mellom ren og anvendt matematikk. Selv om den gamle oppfatning om at matematikk var sannhet om naturen har bleknet i våre dager, så viser matematikken seg til stadighet å være overraskende nyttig i studiet av naturen. Felter som gruppeteori, ikke-euklidsk geometri og sannsynlighetsregning viser seg å være av nøkkelbetydning for å forstå den fysiske verden rundt oss.

Det generelle bildet som til slutt tegner seg for oss er et intellektuelt gjennombrudd, med sin indre dynamikk, som skjer under de rette vitenskapelige, religiøse, kulturelle og sosiale forhold. Hver av de inngående elementer spiller sin rolle, og uten et av elementene kunne begivenhetene ha skjedd ganske annerledes. Her passer det å avslutte med et sitat fra Albert Einstein (Einstein 1950, s. 244):

"Vitenskapelig språk og begrepers internasjonale karakter skyldes at de skarpeste hjerner fra alle land og fra alle tider har laget dem. I ensomhet, og likevel med felles krefter om det endelige mål, skapte de det åndelige verktøy for den tekniske revolusjon som har omformet menneskenes levesett de siste århundrer. Deres system av begreper har vært en fører gjennom det forvirrende kaos av inntrykk, slik at vi lærte å få tak i den virkelige sammenheng ut fra enkelte iakttagelser."

Litteratur:
Atiyah, M.F.: Utviklingslinjer innen ren matematikk. Nordisk matematisk tidsskrift nr. 1, 1979.
Berlinski, D.: A Tour of the Calculus. Mandarin Paperbacks, 1996.
Birkeland, B.: Newton og matematikken. Nordisk matematisk tidsskrift, nr. 2, 1988, side 61-75.
Brynhildsen, Aa.: Johannes Kepler, Oslo 1976.
Cantor, M.: Vorlesungen uber Geschichte der Mathematik, Vol. I-IV, Leipzig 1894-1908.
Edwards, C.H.: The Historical Development of the Calculus. Springer-Verlag, 1979.
Eistein, A.: Tanker og meninger. Oslo 1950.
Holton, G.: The Thematic Origins of Science. Cambridge, Mass 1973.
Hooykaas, R. Religion and the Rise of Modern Science. Edinburgh and London 1972.
Kline, M.: Mathematies: A Cultural Approach. New York 1962.
Kline, M.: Mathematical Thought from Ancient to Modern Times. New York 1972.
Koestler, A.: The Sleepwalkers. A History of Man's Changing Vision of the Universe. Penguin.
Lindstrøm, T.: Kompletthet og kontinuitet. Temahefte i matematikk 2, Gyldendal Norsk Forlag, Oslo 1992.
Smestad, B.: Foundations for fluxions. Hovedoppgave i matematikk, Univ. i Oslo, 1995. Internett: http://www.hifm.no/~matematikk/ansatte/bjorns/hovedoppg.htm
Suppe, F. (ed): The Structure of Scientific Theories. Univ. of Illinois, 1974.
Thorvaldsen, S.: Opprinnelsen til den matematiske analyse. Hovedoppgave i matematikk, Univ. i Trondheim, 1979.
Thorvaldsen , S.: Integral- og differensialregning før Newton og Leibniz. Nordisk matematisk tidsskrift, nr. 2, 1982, side 49-63.
Thorvaldsen, S.: Keplers vei til planetlovene. Nordisk matematisk tidsskrift, nr. 2, 1983, side 49-58.
Wilder, R.L.: Evolution of Mathematical Concepts. John Wiley and Sons, 1968.