Geometri og det gylne snitt

Av Steinar Thorvaldsen
Høgskolen i Tromsø
N-9293 Tromsø
e-post: steinar@hitos.no

Fra de tidligste tider har menneskene lagt merke til geometriske former i naturen. Det gjelder solens sirkelform, månens faser, stjernehimmelens bevegelse, bikubens form, edderkoppens nett osv. Men geometrien som fag har en praktisk opprinnelse. Herodot (ca 500 f.Kr) skriver: "Egypterne betalte årlig en skatt til kong Sesostris beregnet ut fra hvor mye land de eide. De som mistet land på grunn av at Nilen gikk over sine bredder, måtte rapportere det til kongen. Han sendte så en av sine oppsynsmenn som målte hvor mye av landet som var igjen. På grunnlag av dette ble det beregnet ny skatt."

Vi regner med at ordet geometri stammer fra denne tiden. Ordet betyr nemlig "måling av jord". Egypterne og babylonerne kjente korrekte metoder for å finner arealet av trekanter, rektangler og trapeser for 4000 år siden.

1. Euklid

Grekerne gjorde geometrien til en formell vitenskap med presise definisjoner og regler ca år 300 f.Kr. Dette ble gjort i verdens mest berømte matematikkbok som heter "Elementer" der store deler er forfattet av Euklid. Verket består av 13 bøker og inneholder det meste av den matematiske viten grekerne satt inne med. Euklids bøker ble brukt i europeiske skoler i nærmere 2000 år. Bortsett fra Bibelen er det ikke noe bokverk i historien som har blitt mer undervist, sitert og studert enn dette. Geometriens systematiske oppbygging og logiske presisjonskrav ble en trendsetter som senere dannet mønster for resten av matematikken. Grekerne var også de som krevde at geometriske konstruksjoner skulle utføres ved hjelp av passer og linjal.

Men hvorfor valgte Euklid ut nettopp geometrien som grunnleggende for sin matematikk? Hovedårsaken til dette var at tallæren, som Pythagoras hadde studert så grundig, hadde gitt opphav til selvmotsigelser og paradokser, f.eks. når man skulle gjøre noe så enkelt som å finne lengden av diagonalen i et kvadrat. Dette var den første store krisen i matematikkens utvikling, og førte til at geometrien ble regnet som mer fundamental enn tallæren. Siden tallene (dvs. de rasjonale tallene) ikke var sterke nok til å beskrive forholdene i geometrien, måtte det være en mangel ved disse. Geometrien hadde den beste forklaringskraft og ble valgt som basis for hele matematikken.

Den greske kultur omfatter større områder enn det som i dag er Hellas. Euklid ble utdannet ved Platons akademi og levde og arbeidet i byen Aleksandria ved Nilens munning. Vi vet ikke om Euklid selv har utviklet ny matematisk teori, for det er som lærebokforfatter han har hatt størst betydning. Det er kopier av Elementene som er bevart i dag og disse er ofte utvidet med kommentarer eller nye setninger. Bokverket ble første gang trykket i 1482, og har etter dette kommet i over 1000 utgaver. En dansk oversettelse opprinnelig laget for ca. 100 år siden er nå trykket opp på nytt.

Elementene bygger på tidligere matematikeres arbeider. Elementene omhandler følgende tema:

Vi kan se litt på oppbyggingen til bøkene ved å se litt nærmere på bok I. Euklid bygger opp teorien ved hjelp av logiske slutninger fra et grunnlag av definisjoner, postulater og aksiomer. Hans såkalte aksiomatiske metode går ut på å starte med å presentere noen få grunnsetninger om geometriske objekter som verken blir forklart eller bevist. Han begynner hver bok med slike definisjoner. I bok I starter han med 23 definisjoner. Her er noen eksempler på geometriske begreper som blir innført: Euklids postulater er "selvinnlysende, grunnleggende sannheter". Her er de fem i bok I :
  1. En rett linje kan trekke fra et vilkårlig punkt til et vilkårlig annet punkt.
  2. Når vi har ei rett linje er det mulig å utvide den i begge retninger.
  3. Det er mulig å tegne en sirkel med vilkårlig sentrum og vilkårlig radius.
  4. Alle rette vinkler er like store.
  5. Dersom en rett linje skjærer to rette linjer og de innvendige vinklene på samme side (av overskjæringslinja) er mindre enn to rette vinkler, så vil de to rette linjene møtes om de forlenges ubegrenset til denne siden.
Euklids aksiomer er generelle sannheter som også kan brukes i andre sammenhenger enn matematikk. Vi kan kalle dem for slutningsregler eller "common sense". Her er de fem i bok I :
  1. Ting som er like den samme tingen er også like hverandre.
  2. Hvis like legges til like, så er også summen like.
  3. Hvis like trekkes fra like, så er også restene like.
  4. Ting som faller sammen (dekker hverandre), er like.
  5. Det hele er større enn delen.
Med bakgrunn i dette aksiomgrunnlaget utledet Euklid alle kjente resultater innen geometrien på en systematisk og resonnerende måte. Fra punkter og linjer, til mangekanter, sirkler og romlegemer. Den danske kunnskapsarkeologen Jens Høyrup har karakterisert verket som skoledannende for den institusjonaliserte matematikkundervisning. Som tidligere nevnt, fungerte også verket som trendsetter for mye av forskningen som senere kom innen matematikk og naturvitenskap. På 1800-tallet ble det avklart at metoden med hell også kunne brukes innen andre områder av matematikken, og de fleste fagområder fikk en formalisert aksiomatisk framstilling.

Metodens begrensninger ble først oppdaget på 1900-tallet da matematikeren Kurt Gödel beviste at det i de aller fleste aksiomsystemer kan formuleres setninger som er sanne uten at de kan utledes av aksiomene. Det vil altså finnes relevant kunnskap som ikke fanges opp av aksiomsystemet, og som verken kan bevises eller motbevises. Alle aksiomsystemer vil dermed være ufullstendige. Dette kalles Gödels ufullstendighetsteorem og regnes som en av de viktigste matematiske oppdagelser fra forrige århundre.

Noen vil hevde at Euklid på mange måter også gjorde geometrien en bjørnetjeneste. Hvordan kunne det skje at et av matematikkens mest spennende og visuelle emner kunne få en så ensformig framstilling som i den klassiske geometri? På en måte koblet Euklid faget mest til filosofi og gjorde det til et mønstereksempel på hvordan finne fram til sannheten. Resultatet har også vært at geometrien etter hvert har fått en redusert betydning i våre skoler, mens den egentlig kunne vært brukt som brobygger mellom elevenes erfaringsverden og matematikken. Først med Læreplanen fra 1997 gjøres det et forsøk på å "rehabilitere" geometrien i norsk skole. Den estetiske dimensjonen og skapergleden skal igjen kommet inn i faget.

2. Det gylne snitt 1,618...

Det gylne snitt er en underlig forhold vi ofte finner i geometrien og naturen. Allerede Euklid omtaler dette forholdet i sin bok II og VI. Sammenhengen kan brukes til å kombinere ulike fagområder som matematikk, arkitektur, billedkunst og biologi.

Det gylne snitt bygger på en harmonisk deling av et linjestykke. Snittet deler linjestykket slik at forholdet mellom den lengste og den korteste delen er like stort som forholdet mellom hele linjestykket og den lengste delen av det.

Matematisk kan dette uttrykkes slik: Hvis linjestykket AC er delt i et punkt B slik at

sies B å dele AC i det gylne snitt

Dersom vi setter linjestykket (a+b) lik 1 og den lengste delen av det (a) lik x, blir den korteste delen (b) lik 1 - x. Settes dette inn i likningen over, og multipliseres begge sider med x(1-x), får vi følgende annengradslikning:

Løser vi denne likningen og ser bort den negativ løsning, får vi: Det gir for det gylne snitt: (a+b)/a = 1/x = ( 1 +)/2 = 1,618034...
Tar vi det inverse av dette tallet får vi: 0,618034... Merk at alle desimalene her er de samme.

Leonardo da Vinci (1452-1519) åpnet en av sine bøker med følgende utsagn: "La ingen som ikke er matematiker lese mitt arbeid!" Denne spissformuleringen viser kunstnerens interesse for matematikkfaget. Ved siden av å interessere seg for geometri, studerte han menneskekroppen meget inngående. Han fant mange forhold på menneskekroppen som, ifølge ham selv, burde være lik det gylne snitt for at det skulle være en perfekt kropp. Da Vinci hevdet at forholdet mellom høyden fra navlen og ned og høyden fra navlen og opp bør være lik det gylne snitt. Det betyr at en person på 150 cm, skal ha en navlehøyde på ca 93 cm. Dette kan skape mye moro og sterk motivasjon hos elevene, både til målinger og evt. løsning av likninger på høyere klassetrinn.

Lærere har etter slike timer opplevd at elever hevder med stor overbevisning at deres kropper, som kanskje er både butte og stutte, er langt mer "perfekt" enn de syltynne reklamemodellenes kropper med alt for lange bein!

Femkantstjerna kalles gjerne pentagrammet. Den avbildes gjerne inne i en sirkel, og gir oss en estetisk følelse av balanse og harmoni. I en regulær femkant finnes også det gylne snitt som forholdet mellom diagonalen og siden. Det var dette som var Euklids motiv.

Det gylne snitt finnes igjen i mange sammenhenger i arkitektur, kunst og billedkunst. Et gyllent rektangel er et rektangel der forholdet mellom den lengste og korteste siden er tilnærmet lik 1,62. Hvis man ber en gruppe elever finne hvilket av rektanglene under som er "penest" eller mest harmonisk, så vil vanligvis rektangel g være det foretrukne. Nabofigurene f og h vil også skåre høyt i en slik statistisk undersøkelse. Her er det figur g som er et gyllent rektangel, mens f har forholdstall 1,5 og h 1,7. I utformingen av bygninger, gårdsanlegg og tun har det gylne snitt ofte vært et bærende konstruksjonsprinsipp helt opp mot slutten av 1800-tallet. Da overtok andre prinsipper i arkitekturen, men fotografer og designere tenker fortsatt på det gylne snitt når de skal komponere bildene sine. Et fotografi blir adri pent hvis man lar f.eks. lar horisonten komme midt på bildet.


En av verdens mest kjente tallrekker kalles Fibonacci-tallene og er slik:

De har fått navn etter Leonardo av Pisa (1170-1240) som gjerne også kalles Fibonacci som igjen er en forkortelse for Filius Bonacci eller sønn av Bonacci. Rekken stammer fra boka "Liber abbaci". Det Fibonacci gjorde var å lage et tenkt kaninforsøk der han starter med to kaniner som får to unger hver måned. Men alt avkommet får også to unger fra de er en måned gamle (en av hvert kjønn). Slik får vi flere og flere kaninpar, og hvert ledd i rekka framkommer som summen av de to foregående ledd.

poster

Hvis vi nå regner ut forholdet mellom to etterfølgende tall, finner vi dette:

Forholdstallet ser altså ut til å nærme seg det gylne snitt, noe som også viser seg å kunne bevises når Fibonacci-tallene går mot uendelig.

Noe av det mest spennende og forunderlige med Fibonacci-tallene er at vi også kan finne igjen disse tallene i biologien. Når vi ser inn mot blomsten i en solsikke ser det ut som det stråler spiraler ut fra sentrum. Det samme gjelder for en kongle og for en ananasfrukt, der spiralene sprer seg ut fra stilken. På vår mer hjemlige løvetann er det verre å se spiralstrukturen når den står i full blomst, men plukker vi av de gule kronbladene, ser vi tydelige spiraler i vekstområdet. Disse spiralene går henholdsvis mot venstre og mot høyre. Dersom vi teller spiralene som går mot høyre, og deretter de som går mot venstre, vil vi finne ut at antallet er forskjellig og lik to etterfølgende Fibonacci-tall. På konglen under er tallene henholdsvis 13 og 8, og på solsikken 34 og 21:

På et innsamlet materiale med 281 kongler var det bare 5 som ikke tilhørte Fibonacci-tallene. Ved å telle kronbladene på prestekrager, skal det på samme måte være mulig å finne opphopning rundt Fibonacci-tall, men jeg har ikke noe statistisk materiale som kan dokumentere dette.

Lenge har man lurt på hvilke lover som lå bak naturens preferanse for Fibonacci-tall. På 1970-tallet fant botanikerne nærmere ut av systemet for celledeling i vekstsonen hos blomsterskudd. Denne celledelingen skjer nemlig ikke vilkårlig, men følger et spesielt mønster. Knoppskytningen skjer så og si alltid i en bestemt vinkel i forhold til den sektoren der forrige knoppskytning skjedde. Denne vinkelen ble bestemt til å være 222,5 grader, og var stort sett konstant fra celle til celle etter hvert som planten vokste. Ser vi nærmere på denne vinkelen, finner vi:

som er meget nær det gylne snitt. Vinkelen kalles gjerne den gylne vinkel. Dette matematiske regelverk som mange planter bruker, er altså i samsvar med det gylne snitt og framkommer i kombinasjonen mellom plantenes genetikk og de omliggende randbetingelser.

Matematikere har også studert hvordan frøene bør pakkes for å oppnå optimal komprimering innen en sirkulær rand med minst mulig glippe mellom dem. Hvis vi lar frøene være representert som små skiver, er løsningen på dette er at frøene da må plasseres i spiraler med påfølgende rotasjonsvinkel på nettopp 222,5 grader, dvs med 0,62 omdreininger per nytt frø. Dette ble vist matematisk av franskmennene Douady og Couder i 1993. Dette var også den eneste plassering som ga bilde av spiraler som gikk i begge retninger. I referanselisten til slutt i denne artikkelen kan man finne simuleringer på Internett av ulike vekstmønstere, og hvordan den gylne rotasjonsvinkelen gir det optimale design. Bildene nedenfor viser at små avvik fra den gylne vinkel gjør at det dobbelte spiralmønsteret forsvinner:


3. Tallet pi 3,14...

Sirkelen og dens egenskaper har fascinert mennesker fra de tidligste tider. Forholdet mellom omkrets og diameter har alltid stått sentralt i matematikken, og er vel den enkeltsak som har opptatt faget mest gjennom tidene. Lenge trodde man at dette forholdstallet - p - kunne uttrykkes som en brøk. Den egyptiske matematiker Ahmes (ca 1700 f.Kr) skriver i problem nr 41 i Rhindpapyrusen at en sirkel og et kvadrat har samme areal dersom kvadratets sidekant er 8/9-deler av sirkelens diameter. Det er lett å vise at dette gir en verdi for p på: Noe som avviker mindre enn 1% fra den virkelige verdien. Hvordan de har funnet fram til dette er usikkert. På en babylonsk leirtavle funnet i 1936 finnes verdien 3 og 1/8, dvs. 3,125.

I det gamle Testamente står det en mye omtalt beskrivelse av et stort renselseskar i Kong Salomos tempel (950 f.Kr) som ble laget av kunstneren Hiram (1.Kongebok kap 7):

"Så laget han det støpte hav. Det var helt rundt og målte ti alen fra kant til kant. Høyden var fem alen, og det trengtes en snor på tretti alen for å nå rundt det."

Her kan det synes som at man opererer med en såpass unøyaktig verdi som p = 3. Men dette forutsetter at den store vannbeholderen hadde sylindrisk form. Den kan meget vel også ha hatt skrå vegger og tallerkenrand rundt, og dermed kan ikke Hiram avsløres som en unøyaktig matematiker. Han har bare ikke gitt oss alle de geometriske detaljene, selv om han riktignok nevner at karet var en håndsbredd tykt, hadde "kant som på et beger og var formet som en lotusblomst". Med disse opplysningene er det fult mulig å realisere kunstverket innen de gitte rammer. Vi bør være varsomme med å tolke gamle tekster inn i en eksklusiv euklidsk tradisjon, slik de fleste lærebøker fortsatt gjør på dette punkt.

Arkimedes (250 f.Kr) beregnet verdi for p ved å innskrive og omskrive mangekanter i sirkelen. I sitt arbeide "Om målinger av sirkelen" brukte han en 96-kant til å finne en verdi på p mellom 3 1/7 og 3 10/71, noe som gir tre korrekte desimaler etter komma. Arkimedes' beregningsmetode var i nesten 1000 år den eneste kjente.

Den kinesiske astronomen Tsu Chung-chih (ca 500 e.Kr) benyttet en mangekant med 24576 sider, og kom fram til brøken 355/113 som stemmer med 6 desimaler etter komma.

Senere fortsatte man å øke antall sider i mangekantene, og i 1610 klarte Ludolph van Ceulen å finne p med 35 desimaler. Han brukte 32 milliarder sider i sin mangekant og regnet i flere år på saken. På 1600-tallet fant man også nye metoder til å bregne p ved at tallet framkom som grenseverdi for diverse tallrekker. Bokstaven p ble introdusert av William Jones i 1706 som den første greske bokstav i det greske perimetros (=omkrets). Symbolet ble allment akseptert da matematikeren Leonard Euler tok det i bruk noe senere.

Matematikerne slet lenge med å finne ut av problemet om hva slags natur tallet p kan tillegges. Det ble først avklart i 1882 av den tyske matematiker Ferdinand Lindemann (1852-1939) . Han viste at tallet p er et ikke-algebraisk tall, det vil si at det ikke er løsning i noen polynomlikning med rasjonale koeffisienter. Slike tall kalles transcendente.

Med datamaskinenes inntreden, økte mulighetene for å regne, og den første datamaskin, Einac, fant 2037 siffer i 1949. Ved årtusenskiftet innehar Dr. Kanada ved Universitetet i Tokyo rekorden med 206 milliarder siffer. Men ennå mer imponerende er vel rekorden satt i 1995 av den 23 år gamle Hiroyuki som hadde lært de 42000 første desimalene av p utenat! Det tok over 9 timer å si fram regla.

Ingen har til nå funnet noe system i desimalene i p. Siden p er et tall av typen transcendent, vil man aldri finne en tallsekvens som repeterer seg selv utover resten av tallrekka. Allikevel spekulerer forfattere som Carl Sagan på om sifrene langt ute i tallrekka får en eller annen mening. Dette er en av grunnene til at noen fortsatt bryr seg om å regne. Blant de 1 million første sifrene finner vi ikke sekvensen 0123456, men 12345 finner vi hele 8 ganger. Blant de 200 milliarder første siffer finner vi sekvensen 01234567890 to ganger (rundt plass 53 milliarder og 148 milliarder), mens sekvensen 01234567891 finner vi hele 5 ganger. En sekvens på 13 etterfølgende 3-tall finner vi rundt plass 55 milliarder. Desimalene i p synes å være utmerket dersom man ønsker en rekke med tilfeldige tall til bruk i lotto og liknende.

4. Etnomatematikk

Det er mye spennende å finne om matematikk i ulike kulturer. Interessen for etnomatematikk har først og fremst vokst fram i den 3. verden og synliggjør matematikken bak lokalt håndverk og religiøse ornamenter. Med etnomatematikk mener vi den matematikk som ligger innebygget, nedtegnet og bevart i menneskers kultur og dagligliv. Man er ofte ikke klar over at dette er matematikk i det hele tatt. Matematikken er intuitivt bevart i form av tekstilkunst, veving, fletting, lek, eventyr, sanger, regler, bygninger, matlaging osv. Ved at elevene blir bevisste på dette, kommer matematikkfaget nærmere og berikes. Det bygges bro mellom matematikken og den hjemlige kultur.

I en amerikansk bok om multikulturell matematikk, finner vi også et eksempel fra Norge:

Julekurv
"Norway is a mountainous country extending to the Arctic circle. Most of Norway borders Sweden, but in the north it borders Finland and the USSR. The coastline of Norway is intended by many beautiful fjords - narrow inlets of the sea between high banks of cliffs. The julekurv is a Norwegian Christmas basket. The basket is usually made from a flexible high-gloss paper that comes in many colours. Norwegians hang these baskets filled with sweets on their Christmas trees."

Det er vel få av oss som har tenkt på julekurver som matematikk, men kanskje er det fordi vi har lært det av våre foreldre og besteforeldre?

Paradislek
Hoppeparadiset har klare geometriske former og er svært utbredt i Nord-Europa, spesielt i Norden. Dermed er det naturlig å sette denne form for "geometrisk lek" inn i en kulturell og etnomatematisk sammenheng.

Den geometriske form på paradiset kan variere noe. Det som er mindre kjent er at når man tegner opp et slikt paradis, så tegner man samtidig opp grunnformen til en katedral. Sett ovenfra er paradiset og en katedral av korskirkeform ganske like. Figuren viser Domkirken i Trondheim. Paradiset har sin opprinnelse i katedralens arkitektur, der vandringen gjennom kirkerommet er tenkt som en vandring mot alteret og Guds paradis. Slike geometriske former lever i folketradisjonen.

Liknende leker var på 1200-tallet i bruk i franske katedraler. Firkantene symboliserer det jordiske, mens sirkelen er symbolet på evigheten. Det er egne regler for hvordan steinen skal kastes. Noen paradiser har også dødsruter, og dette med hinking på en fot, kan settes i sammenheng med pilgrimmen som er på vei mot målet for å bli helbredet.

Referanser:
Blatner, David: The joy of Pi. (http://www.joyofpi.com/)
Dalvang, Tone og Rohde, Vetle: Matematikk for alle. Landslaget for matematikk i skolen, Landås 1998.
Eibe, Thyra: Euklids Elementer. Oversat af Thyra Eibe. København, Gyldendal ; 1897-1917.
Høyrup, Jens: Sub-Scientific Mathematics. History of Science, vol 28, 1979.
Jama, Jama Musse: Ethnomathematics.(http://www.dm.unipi.it/~jama/ethno/)
Knott, Ron: Fibonacci Numbers and the Golden Section. (http://www.ee.surrey.ac.uk/Personal/R.Knott/Fibonacci/)
Krause, M.: Multicultural mathematics material, NCTM 1983.
Levin, Eddy: The Golden Proportion. (http://www.goldenmeangauge.co.uk/)
Rossing, Nils Kr.: Den matematiske krydderhylle. Midt Nordisk Vitensenter, 1999.
Selvik, Bjørg K. (red): Matematiske sammenhenger: Geometri. Caspar forlag, 1999.
Stewart, Ian: Life's other secret - The new Mathematics of Living World. Penguin books, 1999.