MATEMATIKKENS KULTUR OG HISTORIE.

Av Steinar Thorvaldsen,
Høgskolen i Tromsø.
N-9293 Tromsø
e-post: steinar@hitos.no

I denne innledende leksjonen skal vi ta for oss noe bakgrunnsstoff, og vi skal se på læreplanene for grunnskolen og videregående skole. I siste halvdel skal vi presentere bruken av Internett som kunnskapskilde, kommunikasjonshjelpemiddel og kursarena - for de som er ukjent med denne nye arbeidsformen.

1. Introduksjon

Enhver matematikklærer vil med jevne og ujevne mellomrom stå overfor en pedagogisk utfordring som kan kalles motivasjonsproblemet, og som er skildret i tegneserien til høyre. Hvilke faktorer kan vi da ty til for å gjøre faget spennende, og motivere elevene til å lære matematikk?

Her er det spesielt tre faktorer vi kan peke på og trekke fram som noe vi må ha i tankene som lærere, og ta vare på når vi får det til:

Anvendelser
Faget matematikk er tverrfaglig i sin natur. Hvis vi kan finne anvendelser som elevene oppfatter som nyttige, relevante og interessante, vil det virke motiverende. Det er her viktig at anvendelser fra "det virkelig liv" i størst mulig grad er hentet fra elevenes virkelige liv og ikke bare fra de voksnes. Barn og unge er opptatt av det subjektive, og hvis de opplever at matematikken angår og berører dem personlig, vil motivasjonen være der til å lære om tallenes og symbolenes tolkning av verden. Her må vi passe på at vi ikke går over grensen. Skoleforskning viser oss nemlig at anvendelser som virker søkt eller oppkonstruert, eller anvendelser der man i praksis vil løse problemet uten bruk av matematikk, vil virke mot sin hensikt.

Fornuftig anvendt vil matematikken framstå som et lurt redskap som kan brukes for å utforske og systematisere andre fagområder.

Et fengende problem
Det hender at vi opplever situasjoner der klassen blir revet med av en problemstilling eller en lys idé. Det kan være noe de har hørt på TV, lest i en bok, eller det kan rett og slett være en kommentar/spørsmål fra en elev, som fører til at hele klasse – inklusive læreren - blir nysgjerrig og begynner å utforske en problemstilling eller sammenheng.

Det øyeblikk da vi endelig skjønner en viktig sammenheng kan minne oss om det Arkimedes visstnok skal ha gjort da han oppdaget loven om legemers oppdrift i vann. Han sprang ut av badebassenget og ropte "Eureka" - Jeg har funnet det! Oppdagelsen kan ofte også bety at etablert viten kan settes inn i en ny sammenheng. Det kan også handle om anvendelighet, dvs. at et prinsipp har gyldighet innen flere fagfelter.

Helter og historier
Selv om vi ikke kan la matematikktimene domineres av biografier og anekdoter om de store helter og heltinner, er det liten tvil om at fortellingen om spennende menneskeskjebner kan bidra til å gjøre faget levende og inspirerende. Matematikken får slik et menneskelig ansikt. Det finnes mennesker bak de fleste oppfinnelser og nyvinninger. Engelskmannen Andrew Wiles(f.1953) kom i 1994 - etter mange års iherdig arbeide - fram til et bevis på et problem som verdens fremste matematikere hadde prøvd å løse i over 300 år (”Fermats store sats”). Andrew forteller at han første gang ble klar over Fermats problem da han var 10 år gammel: "Det så så enkelt ut, og ennå hadde ingen matematikere i hele verden kunnet løse det. Her var det altså et problem som jeg i en alder av ti år kunne forstå. Fra da av skjønte jeg at aldri kunne la dette problemet ligge. Jeg måtte finne løsningen." Det er vel de færreste 10-åringer som er så heldige som dette, men det er ikke uvanlig at noe man opplevde som barn blir så fascinerende at det får stor betydning senere i livet.

Den russiske kvinnen Sonja Kovalevskij (f.1851) fikk også vekket sin interesse for matematikk på en spesiell måte: På grunn av papirmangel, var rommet hennes tapetsert med sider fra en bok i matematikk. Sonja brukte mye tid på å tyde disse formler og tekster. Senere fikk hun privatlærer, og ønsket etterhvert å studere hos den berømte matematiker i Berlin. Hun ble avvist på universitetet fordi hun var kvinne, men professoren lot henne få lese forelesningsmanuskriptene sine. Senere ble hun den første kvinnelige matematikkprofessor i Europa.

Slike historier har vi lov å trekke fram. Mange elever fester seg ved dette og lar seg inspirere. Når det gjelder matematikkens historie, er det ofte ikke lett å vite hva hvilke kilder som er pålitelige og hvilke som er usikre. Spesielt i de tidlige periodene er det mange huller i de historiske kunnskapene, i kildene og i litteraturen. Skal vi ha tilgang til primærkilder må flere betingelser være oppfylt: De matematiske tekstene må ha blitt nedtegnet i et eller annet skriftspråk, materialet som tekstene ble nedskrevet på må ha lang holdbarhet og de må ha blitt bevart og gjenfunnet. Til slutt må skriftspråket ha blitt tydet. Så sannsynligheten for at vi i dag sitter med flere tusen år gamle primærkilder er ikke spesielt stor. Men heldigvis finnes det en del skriftlig materiale fra Egypt, Babylon og Hellas. Med Hellas mener vi her også områder utenfor det egentlige Grekenland. Mange av de ankedoter og historier som ellers brukes kan nok være gode, men sannhetsinnholdet er mer tvilsomt.

Men matematikkens historie, kunst og kultur - har det egentlig noe med faget matematikk å gjøre? Hører det med til pensum? Hva sier læreplanene i matematikk for grunnskole og videregående skole? Fra de ulike læreplanene kan vi trekke fram disse klippene:

2. Læreplanen for grunnskolen

Felles mål for matematikkfaget:
Opplæringen i faget har som mål at elevene utvikler innsikt i matematikkens historie og fagets rolle i kultur og vitenskap.

3.klasse
Matematikk i dagliglivet: I opplæringen skal elevene samtale om, vurdere og løse oppgaver om kjøp og salg før og nå.
Tall: I opplæringen skal elevene prøve forskjellige måter å skrive tall, f eks romertallene opp til 40, og samtale om ideene bak skrivemåtene.

6. klasse
Matematikk i dagliglivet: I opplæringen skal elevene … arbeide med størrelser og enheter, og spesielt tidsberegning. Bli kjent med måling i enkelte andre kulturer
Tall: I opplæringen skal elevene … erfare ulike kulturers måte å skrive tall på og bakgrunnen for dette

7. klasse
Matematikk i dagliglivet: I opplæringen skal elevene søke informasjon om sekstitallsystemet i historisk perspektiv og se sammenhengen med tid - døgn, timer, minutter og sekunder - og med vanlig gradinndeling av sirkelen og jordkloden

Mål for ungdomstrinnet, 8.-10. klasse

Tall og algebra:
De skal ha noe kunnskap om hovedtrekk ved noen forskjellige kulturers tallsystemer.

Geometri:
Elevene skal oppleve estetiske sider av geometrien gjennom praktiske eksempler i arkitektur, kunst og håndverk og se dette i kulturell og historisk sammenheng.

8. klasse
Tall og algebra: I opplæringen skal elevene … møte enkelte utvalgte trekk i forbindelse med tallregningens historie, f eks forskjellige tallsystemer

9. klasse
Geometri: I opplæringen skal elevene … bli kjent med og bruke Pytagoras' setning og få erfaringer med andre eksempler på geometriske sammenhenger og størrelser, f eks anvendelser av det gyldne rektangel og det gyldne snitt i kunst.

10.klasse
Tall og algebra: I opplæringen skal elevene

møte eksempler på tall og algebra i kulturell og historisk sammenheng.
arbeide noe med spennende sammenhenger fra tallenes verden, f eks med spesielle egenskaper, den rolle tallmystikk kan spille i enkelte kulturer, eller den tiltrekning tallgåter kan ha.

Geometri: I opplæringen skal elevene … arbeide med geometri i sammenheng med estetikk i for eksempel natur, kunst, håndverk og arkitektur og i et historisk perspektiv

3. Læreplanen for videregående skole

Grunnkurset
Generell informasjon:

Matematikk er et fag med lange tradisjoner og med røtter i mange kulturer. Fagets historie er nært knyttet til disse kulturenes ånds- og samfunnsliv, og elevene bør få et innblikk i dette samspillet. Kultur, språk og kommunikasjon:

Elevene skal kunne tolke og formidle matematisk informasjon på muntlig, skriftlig og grafisk form. De skal ha et innblikk i matematikkens historie og ha noe kjennskap til fagets betydning for samfunns- og kulturliv.

Geometri: Elevene skal

kjenne til kjeglesnittene og deres rolle i utviklingen av vårt verdensbilde og kunne redegjøre for noen praktiske anvendelser av kjeglesnittene (kan sløyfes på yrkesfaglige studieretninger).
kjenne det gylne snitt, kunne konstruere eller tegne pentagrammer og gylne rektangler og kjenne eksempler på hvordan det gylne snitt er brukt i kunst, formgivning og arkitektur (gjelder kun kurset 1Y).

Kurset 2MX, 2MY, 3MX og 3MY
Kultur, språk og kommunikasjon: Elevene skal

kjenne til matematikkens flerkulturelle historie og ha innblikk i matematikkens betydning for naturvitenskap, teknologi, samfunnsliv og kultur

Kurset 2MX og 3MY
Derivasjon og integrasjon: Elevene skal

kjenne til den historiske fremveksten av differensial- og integralregningen

Kurset 3MX
Integralregning: Elevene skal

ha kjennskap til den historiske utviklingen av noen grunnleggende problemstillinger i numerisk matematikk

I tidligere lærebøker i matematikk for videregående skole, fant vi lite historie. I den grad den fantes var der som små anekdoter i starten på et kapittel (se f.eks lærebøkene til Sanvold & Øgrim). Lærebøkene skrevet etter reform 94 viser et helt annet bilde. Her finner vi historiske glimt gjennom hele teksten og i oppgaver.

4. Matematikkens menneskelige ansikt

Matematikken er altså flerkulturell i sin opprinnelse. Som det framgår av disse utdragene fra matematikkplanene, er det ikke rent lite elevene skal få med seg av matematikkens rolle i kunst og kulturliv sett i et historisk og kulturelt perspektiv. Faget skal presenteres som en del av menneskets kreative utvikling og innsikt. Hvordan skal vi så som lærere klare å ta disse målene på alvor og arbeide seriøst mot dem? Kan elevene finne faglig motivasjon og inspirasjon ved disse aspektene ved matematikken? Hvordan skal vi legge til rette for at dette kan bli spennende for elevene?

Et spørsmål som er like viktig sett fra en lærers ståsted er kanskje dette: Hvilke deler av matematikken kan elevene best lære gjennom en tilnærming til faget fra et historisk og kulturelt perspektiv? På hvilken måte og i hvilke sammenhenger kan dette passe inn i undervisningen?

Mange har også påpekt den parallelle progresjon mellom matematikkens historiske utvikling og den måte elever og studenter i dag tilegner seg faget. Elevene rekapitulerer menneskehetens læringsprosess, om enn på en modifisert måte. Matematikere som Henri Poincare (1854-1912) og George Polya (1887-1985) har fremmet tanken om å presentere skolens matematikkpensum i samme rekkefølge som utviklingen i matematikkens historie. Polya foreslo at elevene skulle gjenoppdage alle de "store skritt" gjort i faget gjennom historien. Poincare satte fram hypotesen at utviklingen av ideer gjennom livet til en matematiker er parallell med utviklingen gjennom hele historien.

Det betyr at kjennskap til historien vil kunne hjelpe læreren i å forstå noen av de vanskeligheter som oppstår i klasserommet. Matematikkens historie kan derfor bidra til å peke ut problematiske punkter. Historisk sett tok for eksempel begrepet null lang tid, og er fortsatt en kilde til mange matematikklæreres problemer. Utvidelsen fra naturlige tall til heltall og rasjonale tall var også problematisk. For ikke å snakke om dette å formulere likninger i et algebraisk formelspråk.

Som en foreløpig oppsummering kan vi derfor peke på følgende momenter for å bruke matematikkens historie i utdanningen:

Øke motivasjonen for læring
Gjøre faget mindre skremmende
Gi faget et menneskelig ansikt
Utvide elevenes oppfatning av faget med rikere perspektiver
Gi forslag til naturlig progresjonen i faget
Gi faget flerkulturelle røtter

John Fauvel (1991) nevner noen måter dette kan gjøres på:

Fortelle matematiske ankedotter
Gi historiske introduksjoner til nye begreper
La elevene få kjennskap til de problemer som bidro til ny matematikk
Gi egne timer i matematikkhistorie
Gi oppgaver med gamle historiske tekster
La elevene lage veggaviser/presentasjoner om historisk matematikk
Gi prosjektarbeider, gjerne om lokal bruk av matematikk i gamle dager

Se ellers Otto Bekkens artikkel: : Matematikk for alle: Kultur og historie. Artikkelen ligger på Skolenettet. (http://skolenettet.nls.no/bib/doku/miss/miss1art7.html). Denne artikkelen er deler av et notat fra en nasjonal arbeidsgruppe i matematikk med synspunkter på "en bedre matematikkundervisning for alle ".

5. Studier via Internett

Internett er navnet på et verdensomspennende datanett som i media og på folkemunne gjerne benevnes som den "elektroniske motorvei" eller "cyberspace". Dette nettet kan sees på som den elektroniske siden av Norgesnettet - datanettet som gjør at vårt langstrakte land blir samlet til ett "IT-rike". IT eller IKT er kortform for Informasjons- og Kommunikasjons Teknologi, en betegnelse som mer og mer overtar for det vi før gjerne kalte EDB. Nettet representerer trolig det største endringsbidrag til vårt utdanningssystem de siste årene, og er allerede kjent stoff for mange lærere.

I dag knytter dette nettet sammen flere millioner små og store datamaskiner. Datasambandet muliggjør at disse kan utveksle informasjon og datafiler på en smidig måte. Etter hvert må vi regne med at mye kursvirksomhet vil foregå via på nettet, og slik kunne være langt bedre oppdatert enn trykte kilder. Daglig betjener nå nettet flere millioner brukere.

Fysisk sett er Internett kort og godt et stort antall datamaskiner og lokale nettverk som er koblet sammen i et stort internasjonalt fellesnett. Maskinene er koblet sammen via datakabler, telefonlinjer, radiosamband, satellitter og andre måter som datasignaler kan transporteres på. Hver maskin i nettet må tildeles sin elektroniske adresse som er bygget opp omtrent som et firedelt telefonnummer, f.eks. 158.39.8.10 . Dette Internett-nummeret gjør at maskinene finner fram til hverandre.

Slike nummer er jo like vanskelig å huske som et telefonnummer, og derfor har man i Internett laget et alternativt system som baser seg på at maskinene også har navn i tillegg til sitt nummer. Et slikt navn er en forkortet form for det vi kjenner igjen fra vanlig brevpostadresser, og kan f.eks. være www.hitos.no , som er en maskin som heter www ved Høgskolen i Tromsø (hitos) i Norge (no). Slike navn er tross alt mye lettere å huske enn tilsvarende nummer. Via Internett kan små og store datamaskiner som kan være styrt av helt ulike operativsystemer (f.eks. Windows, OS/2, Mac eller Unix) snakke sammen og utveksle data på en smidig måte.

Vi skal ta for oss to grunnleggende tjenester en vanlig PC-bruker har mot Internettets maskinpark: Veven og E-post. Siden Internett er i rask endring og utvikling, satser vi mer på å presentere de grunnleggende idéene bak hver tjeneste, i stede for å gi detaljerte "kokebokoppskrifter" om hvordan du skal bruke hvert program. En PC-bruker vil forholdsvis fort finne fram i detaljene ved egen utprøving av konkrete programprodukter. Disse produktene har dessuten en tendens til å komme og gå, mens selve tjenestene på nettet består.

6. Veven (web)

Et informasjonssystem består av tekst, bilder m.m. som er gjort tilgjengelig for brukerne av nettet og kan presenteres på deres skjermer. I praksis kan det fungere omtrent som å bla i en vakker bok med fargebilder og illustrasjoner. På denne måten kan Internett fungere som en informasjonsbank som kan måle seg med de største biblioteker. Fagstoffet til kurset "Matematikkens kulturhistorie" blir formidlet på denne måten.

På fagspråket kalles denne tjenesten gjerne for World Wide Web (= VerdensVid Vev) eller et hypertekstbasert informasjonssystem. Som forkortelse bruker vi gjene WWW eller bare Web som rett og slett betyr Vev. Tekst og grafikk er sydd sammen. Man har hele verden som arena. Brukere som søker rundt på nettet etter interessant stoff, kalles gjerne "nettsurfere".

Adressesystemet
Vev-konseptet bygger på internettprotokollen HTTP (=Hyper Text Transport Protocol). Ordet protokoll er mye brukt i Internett-sammenheng, og det betyr rett og slett et sett med regler for kommunikasjon i datanett. Veven baserer seg på den like mye omtalte klient/tjener-modellen, der klienten (PC'en) kommuniserer med informasjonsdatabaser (tjenere) over hele nettet. Alle slike data har en såkalt URL (Universal Resorce Locator) - en adresse som gjør det mulig å hoppe mellom data og dokumenter i Norge, New Zealand og USA uten å bekymre seg for koder, prosedyrer og andre tekniske finesser. Det geniale ved en URL-adresse er at den båre inneholder protokollnavn og maskinadresse, noe som gjør den svært fleksibel. Vi ser den adresse et valg fører oss til, i statuslinja nederst evt. øverst på skjermsiden. Som eksempel på en adresse, kan vi se på URL-adressen for denne leksjonen i kurset i matematikkens kulturhistorie:

http://www.afl.hitos.no/mahist/innledning1.html

Denne består av følgende tre deler:

http

://

www.hitos.no

lutd/mahist/innledning1.html

Når vi finner en interessant URL-adresse på nettet, kan vi lagre denne ved å opprette et elektronisk "bokmerke" eller "favoritt" som vi senere kan hoppe tilbake til.

Vi kan vha. standard Windows klippe og lime tekst og bilder fra det vi leser på skjermen. Dessuten kan vi velge å lagre de filene vi henter fram på skjermen til vår lokale harddisk.

Programvaren
Internett Explorer, Netscape og Opra er navnet på de tre mest kjente vev-baserte programproduktene. Når man tegner abonnoment på Internett, er det vanlig at man får med ett av disse programmene i startpakken. Begge er gratis til undervisningsformål.

Søkestrategier
Et av problemene med Veven, er at det egentlig ikke finnes noe spesielt startsted. Web er ikke som et tre med rot og topp. I stedet er det som et nett av informasjon. For å finne fram i denne veven, kan vi starte som vi ofte gjør når vi skal ha tak i stoff om et tema i det vanlige biblioteket. Vi begynner med å søke i innholdsregistre. I praksis må man da finne fram til en Søkeknapp og trykke på den. Mange slike finnes i dag på nettet, og det er lagt inn en slik på menysida til kurset "Matematikkens kulturhistorie".

7. E-post.

Elektronisk post er en meldingsformidling mellom mennesker ved hjelp av datamaskiner, tekstbehandling og nettverk. Meldingene som utveksles, er svært likt det vi kjenner igjen som brev, notater, artikler og data. Det elektroniske postsystemet består av komponenter (menyer) hvor brukeren kan skrive, sende, motta, lese, lagre, besvare og videresende brev etc. Et elektronisk postsystem er avhengig av at PC'en har en større maskin (en tjenermaskin) å bruke som postkontor. Postkontoret sørger for å sende posten videre ut i verden, samtidig som det mottar posten som kommer inn til oss.

Elektroniske postadresser likner på det vi er vant med fra vanlig brevpost bortsett fra at hele adressen skrives på samme linje. Personnavnet eller en forkortelse av dette skrives først, og deretter angis postkontoret som siste del av den elektroniske adressen. Disse to hoveddelene adskilles med tegnet @ som ofte leses som engelsk "at", f.eks. slik:

Kari.Nordmann@hitos.no

Dette vil være en fiktiv person som har postkontor på Høgskolen i Tromsø (hitos) i Norge (no). De norske bokstavene æøå kan ikke brukes verken i brukernavn eller i postkontorets navn, men mange personer kan bruke samme postkontor til å ta seg av sin postgang. Alle som tilknytter seg Internett får tilbud om sin egen elektronisk postadresse som alle andre brukere kan nå deg på. Samtidig er det temmelig umulig for andre å se i din personlige postkasse uten å kjenne ditt passord. Innsendingsoppgavene til kurset "Matematikkens kulturhistorie" blir formidlet via e-post.

Fordeler
Alle kjenner til problemet med å få gjort avtaler med en personen vi ønsker å snakke med. Her kommer de elektroniske mulighetene inn ved at de gir oss "frihetsgrader" i tid og rom: Posten vil ligge og vente på mottakeren til vedkommende åpner sin elektroniske postkasse. Det samme vil min post gjøre, slik at jeg til en viss grad slipper å bli avbrutt av telefonen til stadighet. Arbeidsdagen kan dermed struktureres bedre.

I tillegg betyr avstander veldig lite. Posten når hele verden på få minutter. De fleste leser posten sin en gang hver dag, og dermed kan jeg regne med svar i løpet av en eller to dager.

Ulemper
Elektronisk post er temmelig "tunglest" i den forstand at det ikke er nok med briller. Man må til med både nettverk, datamaskin og programvare for å kunne ta en titt. Dette fører til at det stort sett er personer som fra før er brukere av datamaskin, som tar i bruk e-post.

Sjansen for at en melding blir misforstått, er større ved bruk av elektronisk post enn ved en vanlig samtale. Muligheten for en direkte oppklaring av misforståelser er ikke tilstede, og derfor må vi være bevisst på hvordan vi formulerer innholdet med tanke på den som skal lese og forstå budskapet. Den ikke-verbale del av kommunikasjonen er også borte.

De som studerer fenomenet, mener at e-post - til tross for at den er skriftlig - er mer uhøytidlig og simulerer trekk ved det talte språk. Man er mindre formell på skjermen enn når man skriver på papir. Den ikke-verbale del av kommunikasjonen dukker gjerne også opp på skjermen i form av ansiktsutrykk som :-( osv.

Det finnes flere gode programmer som kan brukes som postleser på PC'en for å lese/sende post fra sitt postkontor på nettet. De mest kjente er Outlook, Pegasus mail, Netscape mail og Eudora.

Hvilket av disse man velger, er mye et spørsmål om smak og behag og hva som er tilgjengelig der man skal jobbe. Alle disse programmene er basert på det lettlærte windows brukergrensesnitt, og de kan utveksle post med hverandre.

Merk: Innsendingsoppgavene til kurset "Matematikkens kulturhistorie" blir formidlet via e-post. Kursdeltakeren får ett oppgavesett til hver av de delene som er lagt ut på nettet. Innsendingsoppgavene sendes inn når det passer, og man mottar da svar via e-post, samt oppgave til neste del av kurset. Oppgavene er i noen grad tilpasset det skoleslag der kursdeltakeren arbeider. Hvis man ønsker å sende inn innsendingsoppgavene som filvedlegg (attachment) til en e-postmelding, kan man lære mer om bruk av vedlegg her!

Referanser:

Bekken, Otto B.: Matematikk for alle: Kultur og historie. Prosjekt MiSS på Skolenettet, 1995.
Dalvang, Tone og Rohde, Vetle: Matematikk for alle. Landslaget for matematikk i skolen, Landås 1998.
Fauvell, John: Using History in Mathematical Education. For the Learning of Mathematics 11, 2 (June 1991), side 3-6.
Krause, M.: Multicultural mathematics material, NCTM 1983.
Lynkurs om bruk av vedlegg i e-post.