KRYDDER OG KRUTT FRA 
MATEMATIKKENS HISTORIE.

I denne leksjonen ser vi på en samling historiske elementer fra matematikkfaget. Stoffet er ment som tips til innledningsstoff og evt. sidesprang i matematikkundervisningen. Stoffet er delt inn i følgende emner:
1 Tall og tallregning, 2 Algebra og likninger, 3 Geometri, 4 Statistikk, 5 Funksjoner og 6 Integral- og differensialregning.
 
 
 

1. TALL OG TALLREGNING.

Pytagoras levde omkring 500 år f. Kr. Han er en av grunnleggerne av selve matematikken. Han bodde og foreleste i Sør-Italia og samlet en fast gruppe elever rundt seg. I følge oldtidens filosofihistorikere var det 218 mannlige og 17 kvinnelige elever.

Pytagoras mente at naturens hemmeligheter kan utforskes ved hjelp av tall. Det er en harmoni i den kaotiske naturen, hevdet han. Denne harmonien kunne best uttrykkes i tallenes språk. "Alt er tall", skal hans store slagord ha vært. Hans musikkteori ble et godt eksempel på dette, da han oppdaget sammenhengen med tonehøyde og lengden på den svingende streng. Pytagoras ønsket også å lage "musikkteorier" for andre deler av naturen.

Pytagoras er mest kjent for sin berømte læresetning om trekanter. I praksis var denne setningen kjent lenge før. Pytagoras hadde trolig heller ikke noe generelt bevis for setningen. Helt til våre dager er den pytagoreiske læresetningen blitt stående som en av de viktigste enkeltsetninger i matematikken.
 
 

Tallene og kvadratrøttene

Naturlige tall og brøker finner vi i de eldste kulturer. Mange typer tall har senere blitt utviklet. Matematikeren Leopold Kronecker, som levde på 1800-tallet, sa det slik: "Vår kjære Gud har gitt oss heltallene, resten er menneskets verk". Opp gjennom historien har menneskene flere ganger måttet utvide tallmengden sin. Men dette har aldri skjedd uten problemer. Allerede for 2500 år siden var det en mann med navn Hippasos som beviste at det fantes tall, for eksempel kvadratroten av 2, som ikke kunne skrives som brøker. Disse tallene ble derfor kalt irrasjonale tall. Hvis vi prøver å uttrykke et slikt tall som et desimaltall, ender vi opp med et tall som fortsetter i det uendelige uten noe regelmessig eller systematisk mønster.

Hippasos var en av Pythagoras' elever, og de ble enige om å dysse ned hele oppdagelsen. Den ville ødelegge hele deres filosofiske system. Men noen av elevene kom allikevel til å sladre, og historien forteller at de "omkom" ved et mystisk skipsforlis.
 
 
 
 
 

Sjakkbrettet og riskornet

En persisk konge inngikk følgende avtale med motspilleren sin i sjakk: Dersom motspilleren vant, skulle han få 1 riskorn for første rute på sjakkbrettet, 2 riskorn for neste rute, 4 for tredje og så videre. Vi dobler altså antallet hver gang vi går fra en rute til den neste. Det er 64 ruter på sjakkbrettet.

Kongen så imidlertid ikke konsekvensene av denne avtalen. Ved hjelp av sumformelen for det vi kaller geometriske rekker, kan vi vise at samlet antall riskorn blir: 1,845 10¹⁹. Dette er nok til å dekke halve jordoverflaten med et lag med riskorn.
 
 

Babylonerne og renter

Ved utgravinger i det gamle Mesopotamia er det funnet mengder av leirtavler fra tiden omkring 2000 f.Kr. De viser at babylonerne hadde betydelige matematiske kunnskaper.

Et eksempel er beregning av rentesrente. Utlån og ager forekom da som nå. Prestematematikerne(!) lærte sine elever blant annet hvordan de skulle regne ut fordoblingstiden til en gitt sum når renten var 20%. For hvert år må vi da multiplisere pengesummen med (1 + 20/100) = 1,2. Oppgaven fører til at vi må beregne 1,2^t for forskjellige verdier av t. Dette betyr at babylonerne måtte regne ut verdiene av det som vi i dag kaller en eksponentialfunksjon.

Leirtavla på bildet viser en tabell over kvadrater og kvadratrøtter.
 
 

Goldbachs uløste formodning

Cristian Goldbach (1690-1764) er en russisk matematiker som også en tid var sekretær for akademiet i St. Petersburg. Han var også lærer for tsar Peter 2. Goldbach interesserte seg for flere områder av matematikken, bl.a. tallteorien.

Hans navn er knyttet til den såkalte Goldbachs formodning som sier at ethvert partall kan skrives som en sum av to primtall. F.eks. er 8=3+5, 10=3+7 osv.

Denne enkle setningen er ennå ikke bevist! Trass i iherdig innsats fra de skarpeste matematikere gjenstår Goldbachs formodning som et av de mest berømte uløste matematiske problemene. Noen mener at setningen er uavhengig av vår tradisjonelle matematikk, slik at den hverken kan bevises eller motbevises. Den må i så fall godtas som en grunnleggende sannhet eller aksiom på linje med at 1+1=2.
 
 

Georg Cantor

Georg Cantor (1845-1918) ble født i St. Petersburg av jødiske foreldre. Han kalles ofte mengdelærens grunnlegger. Cantors evner kom tidlig fram, og 18 år gammel begynte han sine studier hos framstående matematikere i Berlin.

I løpet av de neste ti årene kom han på sporet av mengdeideen i forbindelse med studiet av varmeledning. Først seinere ble mengdelæren innført som et viktig grunnlag for oppbyggingen av nesten all matematikk. Dette skjedde imidlertid ikke uten kamp. Noen kalte hans mengdelære for "en alvorlig matematisk sykdom" som en dag måtte bli kurert, mens andre mente han hadde skapt et "nytt paradis" for matematikerne.

Selv fikk Cantor aldri oppleve at mengdebegrepet ble godtatt som det naturlige grunnlag og fundament i matematikken. Ved Niels Henrik Abel-jubileet i 1902 ble Cantor utnevnt til æresdoktor ved Universitetet i Oslo.
 
 
 

Leonard Euler

Sveitseren Leonard Euler (1707-1783) var en av de første til å anvende matematikk på befolkningsutvikling. I sin lærebok "Introductio in analysin infinitorum" gav han dette eksemplet:

Etter syndfloden ble den menneskelige slekt videreført av seks personer. La oss anta at befolkningen etter 200 år var vokst til 1 million. Hvor stor brøkdel hadde så menneskeheten årlig vokst med? (Euler satte så opp den riktige eksponentiallikningen og fant en årlig tilvekst på ca 1/16 eller 6,2%.) Menneskeheten ville altså på 200 år kunne ha vokst til det angitte antall hvis den årlige vekstprosenten var 6,2, og dette var ikke et spesielt høyt tall på den tiden. Men hadde de fortsatt på samme måte i 400 år, ville antallet ha vokst til over 166 milliarder, en mengde som jordoverflaten hadde vært for liten til å ernære.

Euler var selv en god familiefar og hadde 13 barn, selv om kun 5 av disse levde opp. Han kunne konsentrere seg om matematikk under alle forhold, og avbildes ofte omgitt av barn mens han arbeider med matematiske problemer. De siste årene av sitt liv var han blind, og en av sønnene måtte hjelpe han med skrivingen. Euler hadde en utrolig hukommelse. Han kunne hele bøker utenat, samt de 100 første primtallene pluss deres andre, tredje, fjerde, femte og sjette potenser!
 
 
 
 

Carl Friedrich Gauss

Carl Fridrich Gauss (1777-1855) regnes sammen med Arkimedes og Newton som en av tidenes tre største matematikere. Gauss gav viktige bidrag innenfor en rekke områder av matematikken.

Carl Friedrich kom fra enkle kår og var enebarn. Allerede som liten var han et vidunderbarn, og seinere spøkte han med at han lærte å regne før han kunne snakke. En lørdag satt Carl Friedrichs far og gjorde i stand lønningsregnskapet for en del arbeidsfolk. Sønnen fulgte farens utregninger med våkent blikk. Med ett utbrøt sønnen: "Far, her er feil! Det skal bli..." Det viste seg at barnet hadde rett. Carl Friedrich hadde da ennå ikke fylt tre år.

Om Gauss fortelles denne historien da han var omtrent 9 år:

Læreren gav i en time klassen som oppgave å regne sammen hundre ledd i en aritmetiske tallrekker (f.eks.av formen 2 + 4 + 6 + 8 + . . . + 196 + 198 + 200).

Carl Friedrich tenkte seg bare om et øyeblikk. mumlet "der er det!" og skrev ned svaret. (I eksemplet ovenfor blir summen 10100.) Resten av timen satt han med hendene i kors, mens de andre guttene arbeidet hardt.

Da læreren skulle se over svarene, var det bare én som hadde rett - og han hadde tatt det i hodet! Ved sin intuisjon måtte Carl Friedrich ha tenkt ut sumformelen for en aritmetisk rekke på egen hånd. Fra da av var lærerne klar over hans matematiske talent og ga han spesiell støtte i den videre matematiske utvikling.
 
 

Atle Selberg

Atle Selberg (f. 1917) ble født i Langesund i en familie der flere av guttene ble professorer i matematikk. Atle var yngst av disse, og allerede som 15-åring løste han en oppgave ved å vise en liten formel i Norsk Matematisk Tidsskrift. Han valgte å studere realfag og tok doktorgraden ved Universitetet i Oslo og ble forskningsstipendiat i 1942. I 1947 giftet han seg og flyttet til USA for å arbeide ved det store Institute for Advanced Study i Princeton. Der ble han utnevnt til professor i 1951.

Selberg kom med en rekke nye resultater i tallteorien. Hans mest berømte arbeid er utformingen av det som nå går under navnet Selbergs sporformel. Den kan ikke forklares på en enkel måte da den involverer tallteori, gruppeteori, analyse og geometri på en meget utstudert måte. I fysikken ble den senere brukt til å knytte forbindelser mellom kvantemekanikk og klassisk mekanikk.

I 1950 ble Atle Selberg belønnet med Fields medaljen, den fremste utmerkelse som finnes i faget. Internasjonalt regnes han som en 1900-tallets fremste tallteoretikere. Hans samlede avhandlinger i to bind ble utgitt i 1989-91.
 
 
 
 

Hvor er kvinnene?

Bøker om matematikkens historie inneholder få kvinnenavn, men i boka "Women in Mathematics" av Lynn M. Osen finner vi en del stoff om de mest kjente kvinnene i matematikken.
 

Hypatia

Hypatia (370-415) var datter av filosofen Theon, og hun underviste i matematikk og filosofi ved universitetet i Aleksandria. Hun var en populær og idérik matematiker og ble beskrevet som en karismatisk lærer. Studenter kom derfor fra Europa, Asia og Afrika for å følge hennes forelesninger om blant annet diofantiske likninger og nyplatonistisk filosofi.

Hypatia ble leder av den filosofiske skolen i byen. På denne tiden var det en bitter politisk strid mellom kirke og stat i Aleksandria. Hypatia var nær venn av guvernør Orestes, og erkebiskop Kyrillos betraktet skolen som en trussel mot kirken. En historien forteller at Hypatia ble drept av fanatiske munker som støttet Kyrillos, mens en annen historie forteller at hun ble slått ihjel av mobben i Aleksandria på vei til skolen sin.
 
 

Sophie Germain

For å få en solid bakgrunn i faget matematikk er de fleste av oss avhengig av undervisning ved universiteer og høgskoler. I 1794 åpnet Ecole Polytechnique i Paris. Dette ble raskt en av verdens mest anerkjente faginstitusjoner i matematikk. Men skolen var stengt for kvinner.

Sophie Germain (1776-1831) hadde lest om Arkimedes allerede som 13-åring. Senere smugleste hun om Newton og Euler mens andre sov, da foreldrene ville ta fra henne disse bøkene. Senere ga foreldrene opp motstanden, og gikk aktivt inn for å støtte sin datter i studiene. På Ecole Polytechnique måtte hun løpe rundt og samle inn forelesningsnotater fra de andre studentene. Skolen tillot studenter å levere inn skriftlige besvarelser for bedømming av professorene. Sophie Germain leverte inn besvarelser under pseudonymet M. le Blanc, en mannlig student ved skolen. Disse arbeidene fikk mye ros. Hun ga bl.a. viktige bidrag i sine studier av Fermats store sats.

På ordre fra Napoleon utlyste Det franske vitenskapsakademi en pris for den beste avhandling om svingende flater. Dette var et vanskelig problem, men det interesserte Sophie Germain. Hun var den eneste som leverte inn besvarelse, og i 1816 vant hun prisen. Men hun møtte ikke opp ved prisutdelingen, trolig fordi hun følte at juryen hadde vegret seg og ikke gitt henne den respekt hun hadde krav på og fortjente. Prisen førte imidlertid til at hun fikk innpass i de beste matematiske kretser. Hun korresponderte og diskuterte med sin tids største matematikere, bl.a. Gauss, og hun ble feiret med et eget møte i Institut de France.
 
 

Caroline Herschel

William Herschel (1739-1822) var en av sin tids største astronomer. Blant annet oppdaget han planeten Uranus. Astronomi krever nitidige observasjoner og store kompliserte beregninger. Den personen som utførte mange av disse beregningene, blir ofte ikke nevnt.

Caroline Herschel (1750-1848) valgte å vie sitt liv til å hjelpe broren med innsamling av materiale og nøye beregninger. Typisk nok brukte hun tiden etter sin brors død med å tilrettelegge åtte bind av hans arbeid slik at det kunne bli brukt av William Herschels sønn. Selv oppdaget hun også åtte kometer i tiden 1786-1797

Etter hvert fikk Caroline Herschel også anerkjennelse for sin egen innsats. Hun ble tildelt gullmedaljen til the Royal Astronomical Society, og i 1835 ble hun valgt inn som æresmedlem i dette selskap.
 
 

Sonja Kovalevskij

Sonja Corvin-Krukovskij Kovalevskij (1851-1901) var født i Moskva. Hennes tidlige interesse for matematikk ble vekket på en spesiell måte: På grunn av papirmangel, var rommet hennes tapetsert med pålimte sider fra en bok i matematikk. Sonja brukte mye tid på å tyde disse formler og tekster. Senere fikk hun privatlærer, og ønsket etterhvert å studere hos den berømte matematikeren Weierstrass i Berlin. Hun ble avvist på universitetet fordi hun var kvinne, men Weierstrass lot henne imidlertid få lese forelesningsmanuskriptene sine. På den måten fikk hun anledning til å utvikle sitt matematiske talent. Hun tok doktorgraden som "privatstudent" i 1874.

Sonja Kovalevskij fikk stilling ved universitetet i Stockholm, og i 1889 ble hun den første kvinnelige matematikkprofessor i Europa. Hun gav originale bidrag til mange områder i matematikken. I 1888 vant hun den kjente franske prisen Prix Bordin for en av sine matematikkavhandlinger om rotasjon av et fast legeme omkring et punkt. Det var lukket bedømmelse, og det vakte bestyrtelse da konvolutten ble åpnet. Det var en kvinne som hadde vunnet!
 
 
 

2. ALGEBRA OG LIKNINGER.

I matematikken regner vi mye med bokstaver i stedet for tall. Denne regningen kaller vi algebra. God kjennskap til algebra er nødvendig i alle deler av matematikken.

Ordet algebra har vi fått fra det arabiske ordet al-jabr, som betyr å gjenopprette eller sette sammen brukne bein. Like nøyaktig som en lege setter sammen et brukket bein, bør vi behandle våre algebraiske bokstavuttrykk.
 
 

Babylonernes løsning av likninger

Babylonerne løste problemer som i prinsippet var det samme som å løse annengradslikninger. Bildet under viser en leirtavle fra 1700 f.Kr (AO 8852). Den er tolket av Neugelbauer og van der Waerden. Regningen foregår i et 60-tallsystem. I de fire siste linjene settes det prøve på svaret. Tolkingen ser ut som vist ved siden av figuren (NB: tegnet , er brukt for å adskille siffere i 60-tallsystemet, mens tegnet ; brukes som desimaltegn).

Poetiske likninger

I motsetning til våre dagers litt tørre matematiske likninger, var de gamle indernes oppgaver formulert poetisk:

"Av en bisverm slo en femtedel seg ned på en cadambablomst og en tredjedel på en silindriblomst. Tre ganger differensen mellom disse to flokkene slo seg ned på en cutajablomst. Resten av svermen - én bie - svirret omkring i luften, fristet av både jasminens og padunusens søte vellukt. Si meg, smukke kvinner, hvor stor svermen var."
 
 

Diofantos

Diofantos var en gresk matematiker som levde ca. 300 år e.Kr. Han utgav mange lærebøker. Blant annet skrev han en bok om å løse likninger. Den dag i dag omtaler matematikere det å finne heltallige løsninger av likninger, som å løse diofantiske likninger.

Vi vet nesten ikke mer om Diofantos enn de opplysningene som blir gitt i en gresk oppgavesamling fra ca. år 500 e.Kr. Litt forkortet lyder oppgaven slik: I denne graven hviler Diofantos. Han tilbrakte en seksdel av sitt liv som barn. en tolvdel som ungdom og en syvdel som ungkar. Fem år etter at han giftet seg, fikk han en sønn. Sønnen døde fire år før sin far, og han var da bare halvparten så gammel som faren ble. Hvor gammel ble Diofantos?

Etter at du har lært deg litt teori om løsning av likninger, kan du sette at Diofantos ble x år, og løse denne oppgaven som en likning. Svaret skal bli 84 år.
 
 

Fermat

Pierre de Fermat (1601-1665) var fransk hobbymatematiker. Han formulerte det som kalles hans "store sats". Denne setningen var lenge et av de mest berømte uløste matematiske problemene. Setningen sier at det er umulig å finne tre naturlige tall x, y og z som passer i likningen:

xⁿ + yⁿ = zⁿ

Fermat nevner i margen i en bok at han hadde et "vidunderligbevis" for sin setning, men at det ikke er plass til å vise det i margen.

Trass i iherdige anstrengelser av de skarpeste matematikere i over 300 år, var det først i 1994 at matematikerne klarte å bevise at Fermats store sats var korrekt. Lenge mente mange at den var uavhengig av vår tradisjonelle matematikk. Det ville i så fall bety at vi verken skulle kunne bevise den eller motbevise den.

Men engelskmannen Andrew Wiles (1953- ), som arbeidet som professor ved Princeton i USA, kom til slutt etter mange års iherdig arbeide fram til et bevis. Beviset tar over hundre sider og bygger dessuten på mye spesialisert og avansert matematikk. Andrew Wiles forteller at han første gang ble klar over Fermats problem da han var 10 år gammel: "Det så så enkelt ut, og ennå hadde ingen matematikere i hele verden kunnet løse det. Her var det altså et problem som jeg i en alder av ti år kunne forstå. Fra da av skjønte jeg at aldri kunne la dette problemet ligge. Jeg måtte finne løsningen." Da han var ferdig med løsningen var han blitt 41 år.

Fermats problem har med rette blitt kalt verdens vanskeligste matematiske problem - en virkelig nøtt som det tok hele 358 år å knekke! Det er nå skrevet en spennende bok om problemet (Simon Singh: Fermats siste sats). Et interessant intervju med A. Wiles finnes også på internett.
 
 

Forskjellige typer likninger

Matematikere har alltid vært opptatt av å finne enkle løsninger av likninger. Allerede babylonerne kunne løse annengradslikninger av typen x² - 2x - 3 = 0 ved hjelp av kvadratsetningene.

Omkring år 1500 klarte professor Scipione dal Ferro i Italia å løse enkle tredjegradslikninger. For ikke å hjelpe sine konkurrenter holdt han metoden hemmelig. Han viste den bare til noen få venner og elever.

Fjerdegradslikningen ble seinere løst av Lodovico Ferrari (1522-65).

Femtegradslikningen var lenge et problem. Dette fikk en uventet løsning da Niels Henrik Abel beviste at likninger av høyere grad enn 4 ikke kan løses generelt ved rottegn. Denne store matematiske oppdagelsen gjorde Abel da han var bare 21 år gammel.
 
 

Niels Henrik Abel

Niels Henrik Abel (1802-1829) er Nordens største matematiker. Han ble født ved Stavanger - enten på stedet Nedstrand eller på Finnøy prestegård. Han vokste opp i bygda Gjerstad i Aust-Agder, og i 1815 begynte han på Katedralskolen i Oslo.

Abels interesse for matematikk ble tent av en ung matematikklærer som snart ble klar over at han hadde et av historiens største matematikkgenier i klassen. Norge ble snart for "trangt" for Abel. I 1825 drog han ut i Europa på et magert stipend. Da hadde han allerede gjort mange store matematiske oppdagelser.

Abel kom hjem til Norge i 1827 med en helse som var knekt av tuberkulose. Han døde bare 26 år gammel på Froland verk og er begravet på Froland kirkegård. I dag er viktige matematiske begreper oppkalt etter Niels Henrik Abel. Det er sagt at "han har gitt matematikere nok å arbeide med i 500 år".
 
 
 

Évariste Galois

Omtrent på Niels Henrik Abels tid var det i Frankrike en annen ung matematiker som også led en tragisk skjebne. Hans navn var Évariste Galois (1811-32).

På skolen var Galois kjent som en innesluttet og litt original type som i tillegg var ivrig republikaner. De vanskeligste matematikkbøkene brukte de flinkeste elevene et par år på å komme igjennom. Men Galois kunne sluke dem som "krimbøker" på få dager.

Galois ønsket å komme inn på den berømte skolen École Polytechnique, men strøk til opptaksprøven to ganger. Siste gang skal han til og med ha kastet svampen i hodet på sin sensor. I stedet måtte Galois begynne på École Normale.

Innenfor algebraen kom Galois med ideer som matematikerne ennå utforsker konsekvansene av. Galois videreførte Abels arbeide om likninger, og ga et nytt bevis for uløsbarheten av femtegradslikningen. Han la også grunnlaget for en fullstendig teori for algebraiske likninger med kriterier for hvilke som er løsbare og hvilke ikke.

Galois liv tok en brå slutt 21 år gammel da han ble skutt i en duell etter en "idiotisk krangel", sannsynligvis om ei jente med navn Stéphanie-Félicité. Han ble dødelig såret i magen, og døde på sykehuset dagen etter. Galois hadde allerede før duellen skrevet og fått utgitt flere matematiske artikler, men natten før duellen skrev han ned sitt matematiske testamente der flere grunnleggende matematiske teorier ble skissert. Den såkalte "Galois-teorien" er på mange måter en forløper for den abstrakte algebra som ble utviklet på 1900-tallet.
 
 

Sophus Lie

Sophus Lie (1842-99) ble født på Nordfjordeid og var prestesønn slik som Abel. Det tok sin tid før han bestemte seg for å bli matematiker; han vaklet en stund mellom språk og realfag. En periode var han også interessert i en militær karriere, men synet var ikke godt nok.

Lie tok sin doktorgrad i Oslo i 1871, og året etter ble han utnevnt til ekstraordinær professor i matematikk. Men det var få her i landet som forsto det han drev med, og i 1886 ble han derfor professor i Leipzig der fagmiljøet var mye større. Her ble han etter hvert verdensberømt for sine originale og nyskapende teorier som i dag går under navnet Lie-algebra.

Det er ikke enkelt å forklare hva Lies matematikk går ut på. Utgangspunktet var geometri og transformasjon av geometriske objekter som linjer, kuleflater etc. Lie ville sammen med sin kollega Felix Klein, bygge opp geometrien og analysen omkring gruppebegrepet, slik som Galois tidligere hadde bygget opp teorien for algebraiske likninger. Disse Lie-gruppene beskrives også som kontinuerlige grupper og viser seg velegnet til å studere symmetrier. De kom senere til å bli et sentralt hjelpemiddel i teoretisk fysikk.

Lie opplevde også mørke sider ved livet, og var i perioder svært deprimert. Hans "grenseløse fortvilelse" førte bl.a. til 7 måneders opphold på en tysk nerveklinikk. Men datidens medisiner hjalp lite, og Lie gikk bokstavelig talt depresjonen av seg. Den storvokste mannen var kjent som en ivrig friluftselsker og turgåer, og dette hjalp gjennom sykdomsperiodene. Hans kone Anna var også en sterk støttespiller.

De siste årene i Tyskland ble formørket av samarbeidsproblemer og mistro mot en del kolleger, selv om disse mørke sidene ikke er dominerende i bildet av en lyssterk personlighet, og hans skapende tanker. Arild Stubhaug har nylig skrevet en stor biografi om Lie med tittel: "Det var mine tankers djervhet" (Aschehoug 2000). Lie kom tilbake til Oslo det siste året av sitt liv, og sine siste forelesninger ga han fra sykesengen. I et verk som "Encyclopedia of Mathematics" er Lie i dag den matematiker i verden som har nest flest referanser etter Riemann. Hans samlede verker utgjør 7 bind.
 
 
 

Emmy Noether

Emmy Noether (1882-1935) er den fremste kvinnelige matematikeren som har levd til nå. På skolen viste hun ikke spesielle matematiske evner, og hun så ut til å foretrekke språkfagene. Hun avla også eksamen som språklærer. Men i stedet for å begynne som lærer, valgte hun nå å fortsette med utdannelsen sin. I året 1900 var hun eneste kvinne blant 1000 menn ved det tyske universitetet der hun studerte. Sju år seinere tok hun doktorgraden i matematikk.

Det var vanskelig for en kvinne å få stilling ved noe universitet. Kolleger forsøkte å hjelpe henne. Først i 1919 fikk hun et uoffisielt professorat i matematikk - uten lønn! Seinere ble det ordnet med en relativt beskjeden lønn. I 1933 måtte Noether flykte på grunn av Hitler sammen med mange av Tysklands beste matematikere. I USA ble hun professor i matematikk. Hun var kjent for å ta seg godt av studentene sine.

Noethers fagområde var algebra. Hennes styrke som matematiker var evnen til å tenke abstrakt, i begreper og systemer. Viktige algebraiske begreper bærer i dag hennes navn.
 
 
 

3. GEOMETRI.

Fra de tidligste tider har menneskene lagt merke til geometrien i naturen. Det gjelder stjernehimmelen, bikuben, nettet til edderkoppen osv. Antall radier i et edderkoppnett er for eksempel spesielt for hver art og er fra 10 til 180.

Geometrien har en praktisk opprinnelse. Herodotus (ca 500 f.Kr) skriver: "Egypterne betalte årlig en skatt til kong Sesostris beregnet ut fra hvor mye land de eide. De som mistet land på grunn av at Nilen gikk over sine bredder, måtte rapportere det til kongen. Han sendte så en av sine oppsynsmenn som målte hvor mye av landet som var igjen. På grunnlag av dette ble det beregnet ny skatt."

Vi regner med at ordet geometri stammer fra denne tiden. Ordet betyr nemlig "måling av jordstykker". Egypterne og babylonerne kjente korrekte metoder for å finner arealet av trekanter, rektangler og trapeser for 4000 år siden. Grekerne gjorde geometrien til en formell vitenskap med presise definisjoner og regler ca år 300 f.Kr. De krevde at geometriske konstruksjoner skal utføres ved hjelp av passer og linjal.
 
 

Thales fra Milet

Thales fra Milet (ca 600 f.Kr.) i Lilleasia er den første matematikeren vi kjenner navnet til. Han beviste resultater i geometri. Dessuten regner vi ham som den første filosofen i vesten. Vi vet ikke hvordan Thales beviste resultatene sine. Antakeligvis gav han en form for logisk begrunnelse i stedet for bare å stole på eksperimenter og tegninger.

Under et opphold i Egypt ble Thales berømt for at han kunne beregne høyden til pyramidene. Metoden han brukte gikk ut på at han satte en loddrett pinne i sanden ved pyramiden. Når skyggen til pinnen var like lang som høyden av pinnen, sprang Thales bort og målte skyggen til pyramiden. Lengden av denne skyggen er da lik høyden til pyramiden. Historien forteller ikke hvordan Thales klarte å måle skyggen til pyramiden.
 
 

Skyggetabeller

Vi kan spore trigonometriske funksjoner, eller i det minste noe som minner om dem, tilbake til noe som ble kalt skyggetabeller. Man har funnet en egyptisk skyggetabell som er om lag 3200 år gammel.

Tabellene angir lengden av skyggen som en loddrett pinne (eller en person) ville kaste på forskjellige tider av dagen. Skyggen var lang om morgenen, nådde minimum midt på dagen, og gikk mot uendelig lengde om kvelden. Tabellene kunne brukes som solur.

De første skyggetabellene vi kjenner var svært enkle og tok ikke hensyn til at sola ville stå på forskjellig høyde avhengig av årstiden. Flere typer slike tabeller ble laget helt fram til middelalderen. Disse skyggetabellene kan ses på som en forløper for tangenstabellen som ligger lagret i lommeregneren din.
 
 

Euklids "Elementer"

Verdens mest berømte matematikkbok heter "Elementer" og er skrevet av Euklid ca. 300 f. Kr. Dette verket består av l3 bøker og inneholder den matematikk grekerne satt inne med. Euklids bøker ble brukt i europeiske skoler i hele 2000 år. Geometriens systematiske oppbygging dannet mønster for resten av matematikken.

En av datidens konger studerte også hos Euklid. Kongen strevde med stoffet som de andre, og spurte til slutt Euklid om det ikke var en lettere måte å lære seg dette på? Da svarte Euklid: "Det går ingen kongeveg til matematikken". - Fremdeles er det slik at det finnes ingen snarveg inn i matematikkens verden.
 
 

Vinkelens tredeling

Noen problemer har til alle tider trukket til seg mennesker med interesse for matematikk. Et av de klassiske problemene er vinkelens tredeling. Vi kan beskrive problemet slik:

Tenk deg at en vilkårlig vinkel er tegnet på papiret. Del denne vinkelen i tre like store deler ved hjelp av passer og linjal.

Det er enkelt å halvere en vinkel ved hjelp av passer og linjal. En skulle derfor tro at det er lett å tredele en vinkel også. Prøv selv! Mange universitetene mottar hvert år en del forslag til løsninger av dette problemet. Noen av forslagene gir så gode resultater at det er nesten umulig å påvise feilen ved hjelp av målinger.

Før du arbeider lenge på dette problemet, skal du vite at i 1837 viste franskmannen P.L. Wantzel at det er umulig å dele en såpass "pen" vinkel som 60° ved hjelp av passer og linjal. Han overførte problemet til å konstruere lengder som er løsninger av en tredjegradslikning. Han viste at det var umulig å konstruere løsninger av denne likningen.
 
 

Terningens fordobling

Et annet av de gamle geometriske problemene gjelder fordoblingen av en terning. Det er flere historier om hvordan dette problemet har oppstått. En historie lyder slik:

En by var plaget av pest. Oraklet i Delfi sa til innbyggerne i byen at de ville bli kvitt pesten hvis de klarte å fordoble størrelsen av det terningformede alteret til guden Apollo.

Problemet var altså å konstruere siden i en terning som skal ha dobbelt så stort volum som en annen terning. Oppgaven ble forelagt den store filosofen Platon Han måtte oversende problemet til en av sine matematikere.

Platon mente at dette var et av de viktigste problemene i matematikken. Det tok imidlertid over 2000 år før oppgaven ble løst. Igjen var det P.L. Wantzel som fant løsningen. I 1837 beviste han at det er umulig å konstruere terningens fordobling ved hjelp av passer og linjal.
 
 

Sirkelens kvadratur

Det tredje av de klassiske geometriproblemer kalles sirkelens kvadratur. Problemet er meget vanskelig, og det viser seg at det er uløselig ved hjelp av passer og linjal. Det ble først avklart i 1882 av den tyske matematiker Ferdinand Lindemann (1852-1939) .

Selve problemet går ut på at vi skal konstruere et kvadrat med samme areal som en oppgitt sirkel. Det henger sammen med spørsmålet om vi kan konstruere tallet p . Dersom sirkelen har radius 1, må nemlig det søkte kvadratet ha sidekanter lik roten av p. Utforskingen av problemet rører derfor ved hva slags natur tallet p kan tillegges.

Det Lindemann klarte å vise, var at tallet p er et ikke-algebraisk tall, det vil si at det ikke er løsning i noen polynomlikning. Tallet p kan derfor ikke konstrueres.
 
 

Tallet Pi

A = p * r². - Dette er formelen for arealet av sirkelen.

De eldste spor etter en bestemmelse av p finner vi i en egyptisk papyrus (Rhind-papyrusen) fra omkring 1700 f.Kr. Denne gir p = 3,16 som er en bra tilnærmelse.

Arkimedes (287 - 212 f.Kr.) beviste ved å innskrive og omskrive en 96-kant i sirkelen at p måtte ligge mellom 3,14084 og 3,14285.

Adrianus Romanus fant 15 riktige desimaler 1593.

William Jones fra England var den første som innførte symbolet p i 1706. Det ble innført som en forkortelse for det engelske ordet periphery som betyr periferi. Symbolet ble allment akseptert da matematikeren Leonard Euler tok det i bruk noe senere.

I 1949 fant Eniac - den første datamaskin - 2 037 desimaler, og en IBM-maskin beregnet i 1964 10 000 desimaler: p=3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399..

Nå er oppmerksomheten mer rettet mot om det finnes mønstre i desimalene til p . Over 200 milliarder siffer er kjent.

I skolene blir ofte p innført ved at en måler omkrets og diameter til sirkelformede figurer. Kanskje tar en til slutt også gjennomsnittet av flere måleverdier. Denne metoden har trolig røtter tilbake til de eldste beregningsmetodene, slik at vi kan hevde at ringen er sluttet.
 
 

Firefargeproblemet

I 1852 skrev den engelske studenten Francis Guthrie til sin bror og spurte om det var mulig å gi et matematisk bevis for følgende problem: Jeg skal fargelegge et kart slik at to land med felles grenselinje (det er altså ikke nok med bare et grensepunkt) skal ha forskjellig farge på kartet. Vil det da alltid være nok å bruke fire farger? Dette spørsmålet har blitt kjent som firefargeproblemet. Det tok matematikere over hundre år før problemet ble løst, og da under forutsetning av at et land ikke er delt i flere atskilte områder slik som det tidligere Vest-Tyskland.

Poststemplet forteller at firefargeproblemet ble løst i 1976. Beviset ble gjennomført av Kenneth Appel og Wolfgang Haken og krevde 1000 regnetimer på datamaskin.
 
 

Vektorregning

Vektorregningen har sin opprinnelse i fysikken, og det latinske ordet vector betyr blant annet "en som bærer på noe". Allerede for lenge siden tenkte en seg at krefter og hastighet kan betraktes som linjestykker med lengde og retning. En adderte slike linjestykker som sidene i et parallellogram.

Den egentlige vektorregningen ble utviklet på 1800-tallet. Mye av inspirasjonen kom fra iren W.R. Hamilton (1805-1865) som er avbildet her. I 1843 oppfant han en slags firedimensjonale tall som han kalte kvaternioner. En del av dette var oppfunnet tidligere av nordmannen Caspar Wessel (1745-1818).

Kvaternionene hadde ingen fornuftig fysisk mening. Fysikeren Maxwell foreslo derfor at man skulle spalte kvaternionene i en talldel og en vektordel. I 1881 gav amerikaneren J.W. Gibbs (1839-1903) den endelige framstillingen av vektorregningen slik vi kjenner den i dag.

Det var altså fysikken som var utgangspunktet for vektorregningen. Dette er derfor et godt eksempel på hvordan fagene fysikk og matematikk har påvirket hverandre.
 
 

4. STATISTIKK.

Slik samling av statistiske data har ihvertfall pågått siden Keiser Augustus' tid. Han lot landets befolkning bli innskrevet i manntall for 2000 år siden.

Faget sannsynlighetsregning oppstod på 1600-tallet. En god del seinere ble den matematiske sannsynlighetsregning anvendt som hjelpemiddel for å analysere statistiske data, og det er dette som nå går under navnet matematisk statistikk.

I vår tid brukes (og misbrukes) statistikk på praktisk talt alle områder: økonomi, industri, politikk, sosiologi, medisin, biologi, fysikk osv. Selv for lesning av vanlige dagsaviser er kunnskaper i statistikk en fordel.
 
 

Befolkningsstudier

John Graunt (1620-74) regnes som grunnlegger av statistiske befolkningsstudier. Han analyserte det statistiske materialet som var lagret om Londons innbyggere. Spesielt interessant for ham var Londons dødsstatistikk som gikk tilbake til 1532.

I 1662 skrev han boka "Natural and Political Observations Made upon the Bills of Mortality". Graunt bemerket f.eks. at antall guttefødsler var omtrent lik antall jentefødsler. Dette er velkjent for oss, men ser ut til å ha vært en nyhet i 1662. Graunt gjorde også et forsøk på å utarbeide dødlighetstabeller av samme type som brukes av moderne livsforsikringsselskaper.
 
 

Blaise Pascal

Blaise Pascal (1623-62) fikk en god utdannelse i Paris, og bare religion ble holdt utenfor undervisningen. Allerede som 11-åring skrev han en liten avhandling om noen lydeksperimenter han hadde gjort selv. Året etter oppdaget han mange setninger fra geometrien uten å ha fått noen undervisning i emnet. Da han var 16 år fikk han trykt et arbeid hvor han satte fram en ny og "vakker" geometrisk setning om kjeglesnitt. Det var da tydelig at han var et av matematikkens vidunderbarn.

To år seinere konstruerte han en av de første regnemaskiner som kunne utføre addisjon og subtraksjon mekanisk. Seinere laget han ca. 50 slike. I vår tid har Pascal blitt hedret for dette ved at et av de mest kjente programmeringsspråk er oppkalt etter han. Pascal grunnla også den grein av matematikken som kalles sannsynlighetsregning.

Pascal tenkte meget klart, og hadde en egen evne til å trenge gjennom problemene og uttrykke presist det andre beskrev i vage ord.

En kveld da Pascal var 31 år opplevde han en åndelig omveltning i sitt liv. I to timer var han gjennomglødet av en overnaturlig ild. All tvil forsvant etter denne direkte kontakten med Gud. Resten av livet brukte han til å kjempe for sin tro og jobbet bare sporadisk med matematikken. En del av det han talte og skrev ble samlet til det som nå er kjent som hans Tanker. En av Pascals store interesser ble også å hjelpe fattige, og han lånte penger mot rente for å kunne gi gaver.
 
 

Normalfordelingen

Statistikken har også sine lover. En av disse er den klokkeformde normalfordelingen eller gausskurven. Normalfordelingen ble oppdaget av De Moivre i 1733, og på nytt i 1809 av Carl Friedrich Gauss, mens han studerte feillære.

Gauss hadde problemer i forbindelse med stjerneobservasjoner. Når han målte en bestemt vinkel på stjernehimmelen flere ganger etter hverandre med ett av de instrumentene han disponerte, fikk han ikke samme svar hver gang. Hyppigheten av måleresultatene fordelte seg som en klokkeformet kurve, den såkalte normalfordelingen, rundt den "sanne" verdien.

Normalfordelingskurven gjør seg ikke gjeldende før tallet på observasjoner blir svært stort. Den kan derfor regnes som et grensetilfelle når n (antall observasjoner) går mot uendelig. I statistikken finner vi ofte normalfordelte data - i alt fra stjerneobservasjoner til soldatenes kroppslengde.
 
 

George Gallup

George Gallup (1901-84) er en kjent amerikansk meningsmåler og samfunnsforsker. Gallup underviste i journalistikk ved et amerikansk universitet. Etter forespørsler fra et annonsefirma i New York om å foreta meningsmålinger for firmaets kunder, grunnla Gallup i 1935 "American Institute of Public Opinion".

I 1936 var det presidentvalg i USA mellom Roosevelt og Landon. Bladet Literary Digest hadde forutsagt at Landon ville vinne. Deres undersøkelse bygde på utsendelse av hele 2,4 millioner brev. Men Gallups målinger viste at Roosevelt ville vinne.

Gallup fikk rett. Meningsmålingen til Literary Digest bygde nemlig på et lite representativt utvalg av befolkningen. Bladet hadde sendt ut sine brev etter telefonkataloger og bileierlister. Men i 1936 var det ikke så vanlig med bil eller telefon. Dette førte til et stemmetall på Roosevelt som var 19% lavere enn det i virkeligheten ble. En slik grov feil hadde ikke Gallup gjort. Nå er ordet gallup et synonym for meningsmåling.
 
 

Eilert Sundt

Nordmannen Eilert Sundt (1817-1875) er kjent som teolog og samfunnsforsker. Etter å ha møtt dikteren Henrik Wergeland, ble han inspirert til å arbeide med å finne ut hvorfor så mange underprivilegerte grupper, særlig de såkalte taterne, hadde det så dårlig her i landet.

Sundt reiste rundt land og strand og studerte folkelivet. Han fant svært mye elendighet. De neste ti år var han stadig på vandring over hele landet og samlet førstehåndskunnskap om folket. Dessuten benyttet han seg av det han kunne få tak i av offisiell statistikk, og han skaffet seg informasjon gjennom prester og lærere.

I bøkene sine skrev han om befolkningslære (giftemål, fødsel, dødelighet), moralske forhold, hus- og sanitærtilstander og om levekår for fiskere, arbeidere og de omreisende taterne (fantene). Sundt skrev på et folkelig poetisk språk, men alt var basert på grundig statistikk.

I 1864 grunnla Sundt Christiania arbeiderforening. Men han var motstander av Marcus Thrane og hans sosialisme. Sundt var også aktiv i Folkeopplysningsselskapet. Han regnes som banebryter for sosiologisk og statistisk kartlegging av folks levekår.

Anders Kiær

Anders N. Kiær (1838-1919) ble født i Drammen. Han ble utdannet jurist, men hans viktigste arbeider er befolkningsstatistikker over inntekt og formue, og skipsfartsstatistikker. Han forsket også i folkeforflytningen i årene 1866 - 85.

Det var vanlig på den tiden å foreta en mest mulig total kartlegging av de forhold som skulle undersøkes. Dette var en svært tidkrevende metode. I 1897 publiserte Kiær en banebrytende avhandling om "Den repræsentative Undersøgelsesmetode" hvor man istedenfor en total kartlegging, skulle gjøre en representativ kartlegging. Representantene for f.eks. befolkningen ble trukket ut tilfeldig som ved et lotteri. Det tok lang tid før statistikerne anerkjente nytten i Kiærs metode.

Ellers er Kiærs navn knyttet til opprettelsen av Statistisk sentralbyrå som ble opprettet i 1876. Han var også direktør for byrået i en årrekke. Statistisk sentralbyrå samler inn og bearbeider den offentlige statistikk her i landet. De utgir bl.a. Statistisk årbok og Statistisk ukehefte.
 
 

Feil bruk av statistikk

Ikke alle statistiske metoder er til å stole på. I en av Kjell Aukrusts bøker leser vi om de gamle vikingene:

- "Store og kraftige vikinger? Sludder og våsprat fra ende til annen. Vikingene var noen oppskrytte små puslinger!

Ludvig sa mistenksom på Solan: Hvor hadde sagbruksarbeideren disse opplysningene fra?

Solan Gundersen hadde det fra sjølveste forskningssjefen i Statistisk Sentralbyrå. Ekspertene regna seg tel sånt. Dagens norske soldat vokste nemlig 0,8 millimeter om året. I dag var gjennomsnittshøyden 179 centimeter. Det var bare å regne seg attende i tia med null komma åtte, tel slaget på Stiklestad - Da skulle'n Ludvig få sjå svart på kvitt å mye det vart att ta'n Olav den Hellige, Gaukatore, Afrafaste og'n Hårek fra Tjøtta! - Nei, her nytta det itte å telle på fingra! Men Solan Gundersen kunne fortelle det han:

- Dessa oppskrytte råskinna som barka sammen i slaget på Stiklestad var itte høyere enn 29 centimeter!

Ja Ludvig kunne bare måpe. På Stiklestad ville han verken ha sett snurten av bondehæren eller kara hass Olav den Hellige. Døm var rett og slett borte neri graset ..."
 
 
 

5. FUNKSJONER.

Rene Descartes (1596-1650) var fransk og regnes som den første store filosof i moderne tid. Hans interesse for matematikk var bare en del av hans liv.

Som filosof la han vekt på at matematikkens deduktive tenkemåte skulle gjennomsyre all vitenskap. Hovedpoenget i hans filosofi var at en kunne anvende en matematisk metode på alle kunnskapsområder - noe som delvis har vist seg å stemme.

Descartes fant på å løse geometriske problemer ved å regne med likninger for kurver. I sitt verk "Discours de la méthode" (1637) viser han i et tilleggskapittel hvordan en kan løse praktisk talt alle geometriske oppgaver ved hjelp av algebraen - nemlig ved å ta i bruk det vi i dag kaller koordinatsystemet. Descartes grunnla den nye koordinatgeometrien. Vi snakker derfor ofte om det kartesiske koordinatsystemet etter filosofens latinske navn Cartesius. I "Discours de la méthode" finner vi også det som går under navnet "nullpunktsetningen".

I 1649 reiste Descartes til Stockholm for å undervise dronning Kristina i filosofi. Det ble en spesielt kald vinter i Sverige slik at Descartes fikk lungebetennelse og døde i Stockholm allerede i 1650.
 
 

Parabelen

Når vi kaster stein, følger steinen en buet kurve til den treffer bakken igjen Det krever lang øvelse å bli treffsikker i steinkast.

I krigstider har matematikerne ofte måttet interessere seg for militære våpen og deres evne til å treffe. I studiet av banen til en kanonkule har grafen til andregradsfunksjonen - parabelen - vært til nytte. Vi bruker også parabelen når vi studerer skrått kast i fysikken.
 
 

Sinuskurver

Det var opprinnelig de gamle astronomers behov for å beregne posisjonene til stjerner og planeter som gjorde det nødvendig med trekantberegninger.

Den greske astronomen Hipparkhos som levde omkring 150 f.Kr, var den første som regnet ut en tabell over noe som liknet en såkalt sinusfunksjon. Denne kunnskapen kom til Europa gjennom inderne og araberne. Ordet sinus betyr bukt eller lomme.

I landmåling og karttegning har trekantberegninger vært et helt nødvendig hjelpemiddel. De trigonometriske funksjonene er i dag noen av de viktigste i matematikken og dens anvendelser.
 
 

Logaritmer

Den skotske baron, godseier og vitenskapsmann John Napier (1550-1617) utviklet de første logaritmer på slutten av 1500-tallet. Han brukte dem til å forenkle løsningen av et astronomisk problem han arbeidet med. Han publiserte sine logaritmetabeller i 1614.

Professor Henry Briggs (1561-1631) foreslo for Napier en litt annen måte å lage logaritmer på, de såkalte briggske logaritmene (tierlogaritmene).

Logaritmene ble bl.a. brukt til å forenkle regningen med store tall. Den neste store og lett anvendelige oppfinnelse til forenkling av tallregningen, er vår tids datamaskiner og lommeregnere.
 
 

Funksjonsbegrepet: Leonard Euler

Funksjonsbegrepet har en lang historie. Fra de tidligste tider har menneskene observert at for eksempel fenomener på stjernehimmelen opptrer med en viss regelmessighet. Vi kan si at disse fenomenene er en funksjon av tiden.

Sveitseren Leonard Euler (1707-1783) gav viktige bidrag til utviklingen av det moderne funksjonsbegrepet. Euler er den mest produktive matematiker som har levd. Selv om det nå er over 200 år siden han døde, er man ennå ikke ferdig med å utgi hans samlede verker. Vi regner med at de vil komme til å bestå av om lag 100 tykke bind. Mot slutten av sitt liv ble Euler blind, men han fortsatte likevel med forskningsarbeid.

Et sitat viser Eulers generelle definisjon av en funksjon. I innledningen til boka "Institutiones calculi differentialis" (1755) sier han:

"Når x betyr en variabel størrelse så heter alle størrelser, som på en eller annen måte avhenger eller bestemmes av x, funksjoner av x."

Ser vi bort fra at Euler forutsatte at definisjonsmengden var R (de reelle tall), er dette omtrent samme funksjonsdefinisjon som vi lærer i videregående skole.

I praksis benyttet imidlertid Euler bare funksjoner som var gitt ved formler.
 
 

Funksjonsbegrepet: Dirichlet

Funksjonsbegrepet er et grunnleggende begrep i matematikken og har en lang historie. Lenge mente matematikerne at alle egentlige funksjoner måtte kunne skrives som en formel. Selv Euler godtok i praksis bare slike funksjoner.

Dermed fikk man problemer med de delte funksjonene som måtte skrives ved hjelp av to eller flere formler. Euler mente dette var en spesiell type funksjoner. I siste halvdel av 1700-tallet var det mange harde diskusjoner om en skulle tillate å bruke delte funksjoner.

Vårt moderne funksjonsbegrep tilbakeføres gjerne til den tyske matematiker P.L. Dirichlet (1805-1859). Han sa at: "f er en funksjon av x når det for hver x i et intervall svarer et tall f(x)". Dermed unngikk han restriksjonen til en formel for f(x).
 
 

Økonomi og matematikk

Økonomi er blitt kalt den eldste av kunstene og den yngste av vitenskapene. Først da den begynte å ta i bruk en viss mengde matematikk ble den betraktet som en vitenskap. Dette skjedde på 1800-tallet.

Adam Smith, også kalt "Sosialøkonomiens far", publiserte sin store bok "Wealth of Nations" i 1776. Denne inneholdt lite matematikk. Eiendomsmegleren David Ricardo brukte matematikk da han i 1817 beviste det overraskende prinsipp at fri handel var fordelaktig for forbrukere i alle land (NB: under visse betingelser).

Først i 1969 ble nobelprisen i økonomi opprettet. Minst halvparten av økonomiprisene som er utdelt siden den tid har gått til arbeider som må betegnes som anvendt matematikk. Nordmennene Ragnar Frich og Trygve Haavelmo fikk nobelprisen i økonomi i henholdsvis 1969 og 1989.
 
 

Ragnar Frisch

Den kjente norske sosialøkonomen Ragnar Frisch (1895-1973) var professor ved Universitetet i Oslo i perioden 1931-1965. Frisch utførte flere viktige arbeider innenfor sosialøkonomi, matematisk statistikk, produksjonsteori, etterspørselsteori, nasjonalregnskap og anvendelse av lineær programmering. Dessuten hadde han lange opphold i India og Egypt for å hjelpe til med den økonomiske planleggingen.

I årene etter krigen var Frisch en av hovedarkitektene bak bruken av planøkonomien som styrte gjenoppbyggingen av Norge. I 1969 fekk han den første nobelprisen i økonomi, sammen med nederlenderen Jan Tindbergen.

Frisch er en av hovedmennene bak økonometrien der en bruker matematiske modeller til å framstille økonomien.
 
 

Lineær programmering

Lineær programmering er en av de mange matematiske metodene i økonomien. Metoden ble utviklet av amerikaneren George Dantzig og den russiske matematiker Leonid Kantorovich. Andre ga også viktige bidrag. I 1975 fikk Kantorovich nobelprisen i økonomi for teorien om lineær programmering og dens anvendelser for best mulig bruk av ressurser.

Et av de mest kjente problemene i lineær programmering består i å lage en næringsmessig holdbar meny med minimale kostnader. Problemet ble først reist i et landbrukstidsskrift i 1945.

Lineær programmering har i dag vid anvendelse i næringsliv, industri og bankvesen. Det er en måte å tjene penger på.
 
 
 

6. INTEGRAL- OG DIFFERENSIALREGNING.

Grenseverdier er noe vi jobber mye med i matematikken. Behovet for en klargjøring av hva grenseverdier er ble antydet allerede av den greske filosofen Zenon som levde om lag 450 f.Kr. Han laget et paradoks som kalles Akilles og skilpadda:

Akilles løper 10 ganger så fort som skilpadda. Skilpadda starter med et forsprang på 10 meter. Når Akilles har kommet dit skilpadda startet, har skilpadda fortsatt et forsprang på 1 meter. Når Akilles har tatt igjen dette forspranget, har skilpadda kommet seg ytterligere 10 cm av gårde, og så videre. Etter dette resonnementet vil Akilles aldri kunne ta igjen skilpadda!

Paradokset ble først oppklart med grenseverdibegrepet og teorien for det som kalles uendelige geometriske rekker. Full klarhet krever at vi aksepterer uendelige mengder og betrakter disse ved hjelp av Cantors mengdelære. Grenseverdier ble innført på 1600-tallet, og mengdelæren mot slutten av 1800-tallet.
 
 

Arkimedes' spiral

Derivasjon brukes ofte for å finne tangenter til kurver. For enkelte kurvetyper ble problemet med å finne tangenten løst allerede for et par tusen år siden uten kjennskap til derivasjon.

Arkimedes (287-212 f.Kr.) var Antikkens største matematiker og naturviter. En av hans kurver kalles Arkimedes' spiral. Den framkommer hvis vi lar et linjestykke rotere mot urviserne rundt origo, O, samtidig som vi lar et punkt P bevege seg med konstant fart ut langs linjestykket. Punktet P vil da beskrive spiralen. Arkimedes bestemte sannsynligvis tangenten ved å finne retningen for punktets bevegelse i P. Han oppfant også det som blir kalt en Arkimedes-skrue, som er en konstruksjon som brukes for å heve vann. Denne brukes fortsatt i deler av verden.

Arkimedes gjorde også en rekke andre tekniske oppfinnelser, bl.a. kastemaskiner, taljer og vektstenger som kunne brukes for å gjøre tunge løft. En av hans spissformuleringer var at "gi meg et fast punkt og jeg skal flytte jorden".

Ellers er Arkimedes mest kjent for oppdagelsen av sin lov om oppdrift i væsker. Ifølge historien sprang han da rundt på torget og ropte "Eureka, Eureka" (jeg har funnet det!).
 
 

Isaac Newton

Isaac Newton (1642-1727) er et av de største matematiske genier som har levd. Allerede i studietiden ved Trinity College i Cambridge ser han ut til å ha nådd fram til grenseområdet for sin tids naturvitenskapelige og matematiske viten.

I det ytre levde Newton et liv uten de store omveltninger. Han var tilbaketrukket, forlot aldri England, men hadde en usedvanlig god helse. I 1665 ble Cambridge rammet av en stor pest, og universitetet måtte holde stengt et par år. Newton holdt seg stort sett hjemme, og i tur og orden gjorde han alle sine tre store oppdagelser: Lysets brytning i ulike farger, den generelle gravitasjonsteori og derivasjon og integrasjon.

Først i 1687 lot han seg overtale av astronomen Edmund Halley til å utgi en del av dette i boka "Naturvitenskapens matematiske prinsipper". Boka inneholder resultatet av den største vitenskapelige innsats som noensinne er gjort av én enkelt person. Hans arbeider markerte begynnelsen til den moderne fysikk og astronomi. Newton må derfor først og fremst regnes som fysiker, men han gjorde også banebrytende arbeider innen matematikken. På en måte kan vi si at han konstruerte de matematiske redskaper han hadde behov for i sine fysiske arbeider.

Newton var også den første som konstruerte en kikkert der lyset ble samlet av et speil i stede for en linse Han brukte også mye av sin tid til studier i teologi og historie.
 
 

Gottfried Wilhelm Leibniz

Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) oppdaget differensial- og integralregningen omtrent samtidig med og uavhengig av Newton. Leibniz må kalles et universalgeni. Han begynte på universitetet i Leipzig bare 15 år gammel og tok doktorgraden 5 år seinere. Leibniz studerte jus, filosofi, logikk og teologi, og han virket som diplomat noen år. Den matematikken han kunne, tilegnet han seg etter hvert, og stort sett på egen hånd.

Leibniz var spesielt opptatt med å finne gode skrivemåter for matematiske begreper og operasjoner. I forbindelse med derivasjon innførte han blant annet differensialsymbolene dx og dy. Han skrev den deriverte som dy/dx. Newton derimot brukte derimot en skrivemåte som liknet på f'(x), slik vi oftest er vant til å gjøre.
 
 

Symboler i matematikken

I dag er det utenkelig med matematikk uten symboler. Symbolene uttrykker matematiske ideer og sammenhenger kort og presist. Mange av de symbolene vi kjenner ble imidlertid først tatt i bruk på 1600-tallet. I dag er disse symbolene til en viss grad internasjonale. Matematikere fra ulike kulturer kan dermed komme sammen og snakke samme matematikkspråk.

I videregående skole lærer vi å integrere funksjoner. Det skriver vi slik: òf(x)dx. Vi kan tolke integrasjonen geometrisk som å finne arealet mellom grafen til en funksjon og x-aksen. Integralsymbolet ble innført av G.W. Leibniz (1646-1716). Sammen med Newton blir han regnet som grunnleggeren av differensial- og integralregningen.

Leibniz brukte først uttrykket "omn y" (summen av alle linjer y) som symbol for integrasjonen. Dette hadde sammenheng med at han trodde at integralet kom fram ved å summere "alle linjer" under grafen. Siden gikk Leibniz over til å bruke integralsymbolet vi er vant med. På den tiden var dette symbolet i bruk som stor bokstav S, og det stod for den første bokstaven i ordet "summa". Leibniz kalte den nye regningen summasjon. Ordet integrasjon ble innført noe seinere.
 

Bernhard Riemann

Bernhard Riemann (1826-1866) så dagens lys i den lille landsbyen Brenselenz i Tyskland. Faren var luthersk prest, og Bernhard vokste opp i et fattig, men lykkelig hjem. Foreldrene så en viktig oppgave i å oppdra og undervise barna sine. Tidlig ble derfor Bernhards lyst til å lære vakt. I seksårsalderen ga han seg i kast med matematikken. Hans medfødte evner kom snart til sin rett: Han ikke bare løste alle regneoppgavene som ble gitt ham, men laget også mye problemer som har utfordret sine eldre søsken med.

Nitten år gammel kom han inn på universitetet i Göttingen. Meningen var at han skulle studere teologi, men han gikk også på matematikk- og fysikkforelesningene, og snart tok denne interessen overhånd. Den berømte matematikeren Carl Fridrich Gauss foreleste også i Göttingen, og Riemann ble oppslukt av faget.

I sin matematikk ble Riemann banebrytende. Det er sagt om han at alle de emneområder han arbeidet med klarte han på en eller annen måte å revolusjonere. 25 år gammel leverte han sitt berømte doktorarbeide om kompleks funksjonsteori. Et par år senere skrev han også et berømt arbeide om det som snart ble kalt "Riemannske geometrier". Denne avhandlingen satte hele geometrien i et nytt lys og banet vei for den geometriske fysikken vi fikk i på 1900-tallet.

Det Riemann viste her, var at på samme måte som det er - avhengig av krumningen - forskjellige typer linjer og forskjellige typer flater, så finnes det også forskjellige typer tre (og fire- ) dimensjonale rom. Dette er de Riemannske geometriene, men detaljene her krever kunnskap i matematikk.

Med disse ideene var faktisk Riemann en vitenskapelige "profet" i sin tid. På mange måter ser det ut som at Riemanns egentlige interesse og motivasjon må har vært matematisk fysikk, og hadde han levd lenger, så hadde han kanskje blitt sin tids Newton eller Einstein. Femti år senere tok nemlig Albert Einstein opp Riemanns visjon om en geometrisk fysikk for verdensrommet. Einstein benyttet da Riemanns arbeider i relativitetsteoriens beskrivelse av det fysiske univers som omgir oss. Her tolket Einstein universet som et firedimensjonalt rom-tids referansesystem. Denne beskrivelsen har hatt enorm betydning for vår tids fysikk. Men uten Riemanns arbeider hadde denne revolusjonen i den naturvitenskapelige tenkemåte vært umulig eller kommet først senere.

Trettien år gammel ble Riemann utnevnt til assisterende professor. Men hans skapelsestid skulle snart ta slutt. Noen år senere ble han alvorlig syk, helsa hadde nok vært svak hele tiden. Han ble bare 39 år gammel.

Riemanns samlede verker består bare av ett bind, men til gjengjeld er det meste der genistreker. Som fysiker og matematiker var Riemann av samme kaliber som Newton og Einstein. Det var også han som definerte den type integralregning vi i dag lærer i den videregående skole. Egentlig bærer da også dette navnet "Riemann-integralet".
 
 

Kristian Birkeland

Kristian Birkeland (1867-1917) ble født i Oslo, og ble etter hvert en berømt fysiker som nådde helt opp i nobelpris-klassen. Men som forsker startet Birkeland som matematiker, før han beveget seg over i teoretisk fysikk.

Før han var 18 år hadde Birkeland skrevet et betydelig vitenskapelig arbeid kalt "Principer til en antall geometrisk metode" der han hadde oppdaget noen nye geometriske setninger. Birkeland studerte så kjemi, matematikk og fysikk i fem år ved Universitetet i Oslo, og tok matematisk naturvitenskapelig lærereksamen, som det da het, 23 år gammel. Mens han var student, publiserte han også tre matematiske artikler. Deretter arbeidet han som lærer ved Aars og Voss skole. Men han kom tilbake til Universitetet der hans hovedinnsats etter hvert skulle ligge innenfor eksperimentell fysikk. Han ble professor 31 år gammel.

I dag er Birkelands navn først og fremst knyttet til Birkeland-Eydes metode for framstilling av salpeter og kunstgjødsel, og dermed etableringen av industribedriften Norsk Hydro, men for Birkeland var dette bare en episode i hans mangfoldige livsverk. Hans aktivitet hadde et omfang og en dybde som var helt ukjent i norsk forskning. Spesielt gjorde han forskning på nordlys. For sin innsats har han fått plass på den norske 200 kr seddel. En skisse av hans nordlyseksperimentet vises også på samme pengeseddel. Ved det såkalte Terrella-eksperimentet ble det første kunstige nordlys framstilt i et laboratorium. Han bygget observatorier for nordlysforskning bl.a. ved Alta.

Naturvitenskapsmannen Birkeland publiserte ca. 70 vitenskapelige avhandlinger, de fleste på fransk. Han hadde også 59 patenter. Tolv var knyttet til Birkeland- Eyde- ovnen og starten av Norsk Hydro. Andre kjente oppfinnelser er: Den elektromagnetiske kanon, fettherding, tørking av fisk, behandling av organiske rester og mekaniske høreapparat.

De siste årene av sitt liv bodde Birkeland i Egypt av helsegrunner, og for å studere det såkalte zodiaklyset. Som menneske var han temmelig utbrent og følte seg motarbeidet av andre.  Han døde på et hotellrom i Tokyo. Hans siste og ”endelige” manuskript gikk tapt i et skipsforlis under 1. verdenskrig. En utenlandsk forfatter har nylig skrevet en stor biografi om Birkeland som også er oversatt til norsk: Lucy Jago: ”Nordlysets gåte - Pioneren som ofret alt i vitenskapens tjeneste” (Gyldendal 2002).

Referanser:

Karl Erik Sandvold m.fl.: Matematikk for den videregående skolen. Gyldendal Norsk Forlag. Første utgave 1982, andre utgave 1988. Deler av stoffet over er tidligere utgitt som kapittelinnledninger til dette læreverket: 1MA,2MN,2MS.
E.T. Bell: Men of Mathematics. New York 1937.
Lynn M. Osen: Women in Mathematics. MIT Press 1974. Se også: www.agnesscott.edu/lriddle/women/women.htm
Jan Thompson: Kunnskapsforlagets matematikkleksikon. Oslo 1997.